Возможности использования чисел в различных системах счисления с древности до наших дней. Системы счисления майя из истории одним из
Урок математики (по древним майя)
Д
ешифровка цифровых знаков майя не составила большого
труда для ученых. Причиной тому поразительная простота и доведенная до
совершенства логичность системы их счета. Можно лишь без конца изумляться
великой мудрости народа, сумевшего практически в одиночку подняться на
недоступные вершины абстрактного математического мышления, одновременно
приспособив его к своим конкретно-практическим земным нуждам. Чванливая
Европа еще считала по пальцам, когда математики древних майя ввели понятие
нуля и оперировали бесконечно большими величинами.
Древние майя пользовались
двадцатеричной системой счисления, или счета. Почему именно число 20 наряду с
единицей стало основой их счета, сейчас невозможно установить с достаточной
достоверностью. Но на помощь приходит простая логика. Она подсказывает, что
скорее всего сам человек был для древних майя той идеальной математической
моделью, которую они и взяли за единицу счета. Действительно, что может быть
естественней и проще, коль скоро сама природа «расчленила» эту единицу
«счета» на 20 единиц второго порядка по числу пальцев на руках и ногах?
Между прочим, подтверждение
именно такому объяснению возникновения двадцатеричной системы счета мы
находим в этимологической связи слова «виналь» (так на языке майя назывался
двадцатидневный месяц) со словами «двадцать» и «человек». По-видимому, говоря
«один человек», древние майя механически представляли себе число 20, если,
конечно, в это время речь шла о каких-то количественных единицах.
Известно, что европейцы, как,
впрочем, и подавляющее большинство народов мира, пользуются сейчас так
называемой арабской цифровой системой, созданной в Индии лишь в конце первой
половины прошлого тысячелетия (V век). В соответствии с этой системой -
ради справедливости ее следовало бы называть индийской - мы расставляем
цифровые знаки горизонтально-строчечным способом, применяя «позиционный
принцип» - одно из замечательных достижений человеческого разума. Это
значит, что цифры стоят друг за другом в строгом порядке, справа налево от первой
позиции или первого порядка к последующим, а именно: единицы, десятки, сотни,
тысячи и т. д.
Древние майя также пришли к
использованию позиционного принципа. В отличие от нас, европейцев, им не у
кого было заимствовать этот принцип, и они сами додумались до него, причем
почти на целое тысячелетие (!) раньше Старого Света. Однако запись цифровых
знаков, образующих число, они стали вести не горизонтально, а вертикально,
снизу вверх, как бы возводя некую этажерку из цифр. Поскольку счет был двадцатеричным,
то каждое начальное число следующей верхней позиции, или порядка, было в
двадцать раз больше своего соседа с нижней полки «этажерки майя» (если бы
майя пользовались десятеричной системой, то число было бы больше не в
двадцать, а только в десять раз). На первой полке стояли единицы, на
второй - двадцатки и т. д.
Майя записывали свои цифровые
знаки в виде точек и тире, причем точка всегда означала единицы данного
порядка, а тире - пятерки. Особый знак для пятерки послужил основанием
для зачисления системы счета древних майя в так называемую
пятерично-двадцатеричную, однако вряд ли можно согласиться с этим, поскольку
пятерки-тире лишь упрощали написание цифровых знаков, не внося каких-либо
принципиальных изменений в двадцатеричную систему счета.
В приведенной таблице не хватает двадцатой цифры. Но это не 20, ибо у майя 20, так же как у нас 10, было уже не цифрой, а составным двузначным числом. Двадцатой цифрой счета древних майя был «нуль», и изображался он в виде стилизованной раковины:
В
двадцатеричной системе, знающей понятие нуля, первым двузначным числом могло
быть только число 20. Так оно и было. Но как изобразить? И майя решают эту
задачу необычайно просто:
над раковиной-нулем они
рисуют точку, то есть первую цифру своего счета. Новый знак - он
изображался так:
обозначал первоначальную
единицу счета второй позиции или второй полки многозначного числа (многополочной
этажерки).
Однако на этом похождения
раковины-нуля не кончались. Раковина все же стала появляться и без точки, располагаясь
на разных полках цифровой этажерки майя. Это означало, что настоящее число
было образовано без участия единиц той полки, на которой в данном случае
находилась раковина. Она говорила, что единиц этой полки (на которой она
расположилась) попросту нет, как нет, например, десятков, сотен или тысяч в
числе, записанном арабскими цифрами, если на отведенном для них месте стоят
нули.
Но коль скоро в числе
наличествовала хотя бы одна-единственная единица любой из полок, довольно
сложный рисунок раковины-нуля сразу же исчезал с нее. Покажем это условно на
простейшем примере: 
, что соответствует числу 21 в
нашем представлении.
Действительно, если нижняя
точка находится на нижней полке, то это обозначает наличие одной единицы
первой позиции, или, попросту говоря, «единицу», но уже не как абстрактный
цифровой знак, а как конкретное число. Верхняя же полка указывает на наличие
одной единицы второго порядка, каковой является двадцатка в двадцатеричной
системе. Следовательно, перед нами двузначное число 21, образованное в полном
соответствии со строгими законами позиционного принципа, но только
расположенное не горизонтально, как мы привыкли, а вертикально. Проверим свой
вывод простейшим арифметическим действием - сложением:
1 «единица» + 1 «двадцатка» =
21.
Чтобы окончательно усвоить
урок математики майя, рассмотрим написание нескольких двузначных чисел майя;
они наглядно продемонстрируют технику применения ими позиционного принципа,
условно названного нами «числовой этажеркой майя»
Здесь было бы
вполне естественно написать «и так далее», однако это самое «и так далее» как
раз и не получается...
В двадцатеричной системе
счета древних майя есть исключение: стоит прибавить к числу 359 только одну
единицу первого порядка, как это исключение немедленно вступает в силу. Суть
его сводится к следующему: 360 является начальным числом третьего порядка (!)
и его место уже не на второй, а на третьей полке.
Но тогда выходит, что
начальное число третьего порядка больше начального числа второго не в
двадцать раз (20x20=400, а не 360!), а только в восемнадцать! Значит, принцип
двадцатеричности нарушен! Все верно. Это и есть исключение.
Но чем оно вызвано? -
естественно возникает вопрос. А вызвано оно - что самое
удивительное - соображениями сугубо практического характера, и можно
лишь в который раз изумляться и восхищаться поразительной мудрости,
невероятному рационализму этого народа, создателя великой цивилизации.
Майя не побоялись нарушить
строгий, четкий строй двадцатеричной системы, чтобы приспособить абстрактное
построение чисел к своим конкретным нуждам. И сделали это столь же просто,
сколь гениально. Математические расчеты с применением многозначных чисел у майя
были в основном связаны с астрономическими вычислениями, которые лежали в
основе календаря. Чтобы упростить их, майя максимально приблизили
первоначальное число третьего порядка к числу... дней своего года. Ведь в
восемнадцати двадцатидневных месяцах, составляющих календарный год, число
дней равно 360!
Так, начав с конкретного
(один человек - двадцать пальцев), древние майя поднялись на вершину
абстрактного мышления, создав двадцатеричную систему счета. Однако, обнаружив
известные неудобства в абстрактном, они решительно приспособили его к своим
практическим нуждам!
При образовании чисел
четвертой и всех последующих полок-позиций «этажерки майя» принцип двадцатеричности
вновь восстанавливается: первоначальное число четвертого порядка - 7200
(360x20); пятого - 144000 (7200x20) и так до бесконечно больших величин.
Интересно отметить, что майя были знакомы с ними не только теоретически.
Вспомним хотя бы стелу из священного города Копана, на которой жрецы записали
начальную, правда мифическую, дату летосчисления майя - 5041738 год до
нашей эры!
Современные исследователи отмечают, что животные разных видов, начиная с рептилий, обладают способностями обобщения, ряд позвоночных способны к зачаткам “символического мышления человека”. А вороны, например, “способны не только к анализу ситуации, но и к обобщению, а также к формированию довербального понятия “число”.
Человек научился сознавать и оперировать различными понятиями, мыслить и у него возникла необходимость в создании системы счета.
Первыми понятиями математики, с которыми столкнулись люди, были понятия «больше», «меньше», «столько же». Прошло очень много времени, прежде чем появились названия чисел и различные системы счисления.
На уроке математики нам кратко рассказывали о различных системах счёта. И я решил узнать подробнее о них и других древних системах счёта.
Системы счисления (нумерация) - символический метод записи чисел, представление их с помощью письменных знаков.
Считать научились еще в незапамятные времена. Сначала люди различали просто один предмет или много. Прошло очень много времени, прежде чем появилось число два. Счет парами очень удобен, и не случайно у некоторых племен Австралии и Полинезии до самого последнего времени были только два числительных: один и два. А все числа, большие двух, получали названия в виде сочетаний этих двух числительных. Например: три-один и два; четыре-два и два; пять-два, два и один и т. д.
У первобытного человека не было потребности в счёте больших количеств. Поэтому счет доходил до 2 или до 3 - всё превышающее этот рубеж, первобытному человеку представлялось как “много”. Числительное “два” имело качественное происхождение - пара рук, ног, глаз и пр.
Затем, в процессе развития обмена - появились естественные эталоны счёта: узелки, камешки, ракушки и пр.
Лучший пример сказанного: древнеиндийская система счисления, где Луна - единица, два - близнецы или глаза, пять - чувства, шесть - запахи, семь - горы, восемь - боги и т. д.
Постепенно для счёта предметов стала применяться более или менее однородные предметы (пальцы рук, если их не хватало, в ход шли ноги). И даже в наше время еще пользуются этим древним счетным прибором, который всегда при нас. Семилетние дети, начиная учиться, часто пользуются при счете своими пальцами.
А вот у обитателей одного из Малазийских островов, обозначения чисел выглядят следующим образом: 1 = “маленький палец правой руки”, 2 = “безымянный палец”, 3 = “средний палец”, 4 = “указательный палец”, 5 = “большой палец”, 6 = “кисть”, 7 = “локоть”, 8 = “плечо”, 9= “ухо”, 10 = “правый глаз”, 11 = “левый глаз, 12 = “нос”, 13 = “рот”, 14 = “левое ухо” и т. д.
Собственная история счета начинается лишь тогда, когда счет сопровождает материальную манипуляцию откладывания, перекладывания, прибавления и т. п. , конкретно проводимую с самими предметами.
Уже при более высокой стадии развития люди при счете стали применять различные предметы. Так, одни пользовались для запоминания числа камешками, зернами, веревкой с узелками, другие - палочками с зарубками (бирками), связкой прутьев, кучей раковин, камней и пр Так в 1937 году в раскопках около деревни Вестонице в Моравии (Чехословакия) была обнаружена лучевая кость молодого волка с отметинами. Эта находка старейшая из найденных записей числа (кость относится к ХХХ веку до н. э.). Кость имеет длину в 18 см, на которой высечено 55 глубоких зарубок - параллельных черточек.
Это были первые счетные приборы, которые, в конце концов, привели к образованию различных систем счисления и к созданию современных быстродействующих электронных счетных машин.
ДРЕВНИЕ СИСТЕМЫ СЧЕТА.
1. Двадцатеричная система древних майя.
Древние майя пользовались двадцатеричной системой счисления, или счета. Почему именно число 20 наряду с единицей стало основой их счета, сейчас невозможно установить с достаточной достоверностью. Но на помощь приходит простая логика. Она подсказывает, что, скорее всего, сам человек был для древних майя той идеальной математической моделью, которую они и взяли за единицу счета. Действительно, что может быть естественней и проще, коль скоро сама природа «расчленила» эту единицу «счета» на 20 единиц второго порядка по числу пальцев на руках и ногах?
Древние майя записывали цифровые знаки, не горизонтально, а вертикально, снизу вверх, как бы возводя некую этажерку из цифр. Поскольку счет был двадцатеричным, то каждое начальное число следующей верхней позиции, или порядка, было в двадцать раз больше своего соседа с нижней полки «этажерки майя» (если бы майя пользовались десятеричной системой, то число было бы больше не в двадцать, а только в десять раз). На первой полке стояли единицы, на второй - двадцатки и т. д.
Сначала майя использовали для обозначения чисел иероглифические символы:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Затем они стали записывать свои цифровые знаки в виде точек и тире, причем, точка всегда означала единицы данного порядка, а тире - пятерки.
2. Древнеегипетская десятичная система.
В древнеегипетской системе счисления, которая возникла во второй половине третьего тысячелетия до н. э. , использовались специальные цифры для обозначения чисел. Числа в египетской системе счисления записывались как комбинации этих цифр, в которых каждая из них повторялась не более девяти раз.
Так число 345 древние египтяне записывали так: , где - единицы, - десятки, - сотни, - тысячи.
3. Вавилонская шестидесятеричная система.
Также далеко от наших дней, за две тысячи лет до н. э. , в другой великой цивилизации - вавилонской - люди записывали цифры по-другому.
Числа в этой системе счисления составлялись из знаков двух видов: прямой клин служил для обозначения единиц, а лежачий клин - - для обозначения десятков. Число 32, например, записывали так:. Знаки и служили цифрами в этой системе. Число 60 снова обозначалось тем же знаком, что и 1. Поэтому вавилонская система счисления получила название шестидесятеричной.
Для определения значения числа надо было изображение числа разбить на разряды справа налево. Новый разряд начинался с появления прямого клина после лежачего, если рассматривать число справа налево.
2-й разряд 1-й разряд
Так как система была шестидесятеричной, то число 92, например, раскладывали на 60+32 и записывали так:.
Впоследствии вавилоняне ввели специальный символ для обозначения пропущенного шестидесятеричного разряда - , что соответствует появлению цифры 0 в записи десятичного числа.
4. Римская система счисления.
Древние римляне пользовались нумерацией, сохраняющейся до настоящего времени под именем "римской нумерации", в которой числа изображаются буквами латинского алфавита. При этом буква I всегда означает единицу, буква - V пять, X - десять, L - пятьдесят, C - сто, D - пятьсот, M - тысячу и т. д.
О происхождении римских цифр достоверных сведений нет. Цифра V могла первоначально служить изображением кисти руки, а цифра Х могла составиться из двух пятерок. В римской нумерации явственно сказываются следы пятеричной системы счисления. Все целые числа (до 5000) записываются с помощью повторения вышеприведенных цифр. При этом, если бóльшая цифра стоит перед меньшей, то они складываются (Например, VI = 6, т. е. 5 + 1; LX = 60, т. е. 50 + 10), если же меньшая стоит перед бóльшей (в этом случае она не может повторяться), то меньшая вычитается из бóльшей: IV = 4, т. е. 5 - 1; XL = 40, т е. 50 - 10). Подряд одна и та же цифра ставится не более трех раз: LXX = 70; LXXX = 80; число 90 записывается ХС (а не LXXXX).
Типичные примеры, общих правил записи чисел в римской системе счисления, приведены в таблице.
Таблица 1. Запись чисел в римской системе счисления
1 - I 11 - XI 200 - CC
2 - II 13 - XIII 438 - CDXXXVIII
3 - III 18 - XVIII 649 - DCXLIX
4 - IV 19 - XIX 999 - CMXCIX
5 - V 22 - XXII 1207- MCCVII
6 - VI 34 - XXXIV 2045 - MMXLV
7 - VII 39 - XXXIX 3555 - MMMDLV
8 - VIII 40 - XL 3678 - MMMDCLXXVIII 3900 - MMMCM
9 - IX 60 - LX 3999 - MMMCMXCIX
10 – X 99- XCIX
5. Двенадцатеричная система счисления.
Довольно широкое распространение имела двенадцатеричная система счисления.
Происхождение её тоже связано со счетом на пальцах. Считали большим пальцем руки - фаланги остальных четырёх пальцев (всего их 12), перебирая их по очереди. Затем число 12 принимается за единицу следующего разряда и т. д. Элементы двенадцатеричной системы счисления сохранились до сих пор.
6. Алфавитные системы счисления.
Алфавитные системы счисления представляют особую группу. В них для записи чисел использовался буквенный алфавит. Примером алфавитной системы счисления является славянская. У одних славянских народов числовые значения букв устанавливались в порядке следования букв славянского алфавита, у других, в частности у русских, роль цифр играли не все буквы, а только те, которые имеются в греческом алфавите.
В славянской системе нумерации для записи чисел использовались все буквы алфавита, правда, с некоторым нарушением алфавитного порядка. Различные буквы означали различное количество единиц, десятков и сотен. Например, число 231 записывалось в виде ~ СЛА (C - 200, Л - 30, А - 1).
Над буквой, обозначающей цифру, ставился специальный знак - "титло" (отсюда - число). Славянская система счисления сохранилась в богослужебных книгах (См. приложение №2). Алфавитная система счисления была распространена у древних армян, грузин, греков, арабов, евреев и других народов Ближнего Востока.
Десятичная система счисления.
Самая известной и используемой в настоящее время системой счисления – является десятичная система. Изобретение десятичной системы счисления относится к главным достижениям человеческой мысли. Без нее вряд ли могла существовать, а тем более возникнуть современная техника. Причина, по которой десятичная система счисления стала общепринятой, вовсе не математическая. Люди привыкли считать в десятичной системе счисления, потому что у них по 10 пальцев на руках.
Десятичная система впервые появилась в Индии примерно в VI веке новой эры. Индийская нумерация использовала девять числовых символов и нуль для обозначения пустой позиции.
В древности цифры этой системы изображались с углами.
Это было не случайно: каждая цифра обозначает число по количеству углов в ней. Например, 0 – углов нет, 1 – один угол, 2 – два угла и т. д.
В дальнейшем написание десятичных цифр претерпело существенные изменения. Форма цифр, которой мы пользуемся сейчас, установилась только в XVI веке.
Двоичная система счисления.
Наименьшее из чисел, которое можно взять за основание системы счисления, - это число два. Соответствующая этому основанию система, называемая двоичной, - одна из самых старых.
Некоторый недостаток двоичной системы состоит в том, что поскольку основание системы мало, для записи даже не очень больших чисел приходятся использовать много знаков. Например, число 1000 записывается в двоичной системе в виде 1111101000, т. е. с помощью десяти цифр.
Однако этот ее недостаток, часто окупается рядом преимуществ. Удобство этой системы - в ее необычайной простоте. В двоичной системе участвуют только две цифры 0 и 1, а число 2 представляет собой уже единицу следующего разряда. Весьма просто выглядят и правила действия над числами, записанными в двоичной системе. Основные правила сложения даются равенствами: 0+0=0,0+1=1,1+1=(10)2.
Все это послужило причиной того, что двоичная система получила широкое распространение в различных областях техники, в особенности в современных вычислительных машинах.
Таблица 2. Запись чисел в двоичной системе счисления.
1 - 1 17 - 10001 33 - 100001 49 - 110001
2 - 10 18 - 10010 34 - 100010 50 - 110010
3 - 11 19 - 10011 35 - 100011 51 - 110011
4 - 100 20 - 10100 36 - 100100 52 - 110100
5 - 101 21 - 10101 37 - 100101 53 - 110101
6 - 110 22 - 10110 38 - 100110 54 - 110110
7 - 111 23 - 10111 39 - 100111 55 - 110111
8 - 1000 24 - 11000 40 - 101000 56 - 111000
9 - 1001 25 - 11001 41 - 101001 57 - 111001
10 - 1010 26 - 11010 42 - 101010 58 - 111010
11 - 1011 27 - 11011 43 - 101011 59 - 111011
12 - 1100 28 - 11100 44 - 101100 60 - 111100
13 - 1101 29 - 11101 45 - 101101 61 - 111101
14 - 1110 30 - 11110 46 - 101110 62 - 111110
15 - 1111 31 - 11111 47 - 101111 63 - 111111
16 - 10000 32 - 100000 48 - 110000 64 - 1000000
Рассмотрим задачу, связанную с двоичной записью чисел.
С помощью двоичной системы счисления можно угадать любое целое число от 1 до 1000, задав не более 10 вопросов, на каждый из которых будет получен ответ только «да» или «нет»? Задача эта вполне разрешима.
Одна из возможных серий вопросов, заведомо приводящая к успеху, такова: 1-й вопрос: Разделите задуманное число на 2. Разделится ли оно без остатка? Если ответ «да» то запишем цифру ноль, если «нет», то запишем единицу (иначе говоря, мы запишем остаток от деления задуманного числа на 2)
2-й вопрос: Разделите на 2 то частное, отбрасывая остаток, которое получилось при первом делении. Делится ли оно без остатка? Снова при ответе «да» запишем нуль, а при ответе «нет» единицу. Запись ведется справа налево.
Каждый следующий вопрос будем составлять по тому же самому образцу, т. е. так: разделите на 2 то частное, которое получилось при предыдущем делении. Делится ли оно без остатка? Всякий раз мы пишем нуль при положительном ответе и единицу при отрицательном. Повторив эту процедуру 10 раз до единицы, мы получим 10 цифр, каждая из которых есть нуль или единица. Не трудно убедиться в том, что эти цифры образуют запись искомого числа в двоичной системе. Если перевести его в десятеричную систему, то мы получим задуманное число.
Система наших вопросов воспроизводит ту самую процедуру, с помощью которой делается перевод некоторого числа в двоичную систему. При этом десяти вопросов достаточно потому, что каждое число от 1 до 1000 записывается в двоичной системе с помощью не более чем десяти знаков.
Например: Задумано число «63».
Задаем вопрос: Разделите это число на «2». Делится ли оно без остатка?
63: 2 = 31,5 - Нет. Значит, мы записываем число «1». Далее продолжаем деление целого числа без остатка: 31: 2 = 15,5 Остаток есть и мы вновь записываем число «1» и т. д. 15: 2 = 7,5 - записываем число «1»; 7: 2 = 3,5 - записываем число «1»; 3: 2 = 1,5 - записываем число «1»; 1: 2 = 0,5 - записываем число «1». Получилось число «111111», Если перевести это число из двоичной в десятичную систему, то мы получим число «63».
Если считать, что задуманное число уже заранее переведено в двоичную систему, то система вопросов, с помощью которой его можно узнать, становится совершенно очевидной: нужно о каждой его цифре спросить, равна она нулю или нет.
«Запись чисел в системах счисления» - Алфавитные системы. Более совершенными непозиционными системами счисления были алфавитные системы. Шестнадцатеричная система. Шестидесятеричная вавилонская система. Римская система принципиально ненамного отличается от египетской. 2011г. Системы счисления. Используемые знаки для представления числа – цифры от 0 до 9.
«Примеры систем счисления» - 4. Тема 2. Двоичная система счисления. 1452 =. 11. = 1644. 2389 = M M C C C L X X X I X. Позиционные системы. + 50. 300. 6. Примеры: Определения. CCC. 19 = 100112.
«Системы счисления урок» - 111, 555. Двоичная арифметика (2 сс). Урок 3. Число месяцев в году тоже равно 12. А посуду, постельное белье мы считаем дюжинами (12 предметов). Как человек понимает компьютер? . Часы работают в двенадцатиричной СС. Двоичная арифметика (16 сс). Урок 7.
«Позиционные и непозиционные системы счисления» - На практике используют сокращенную запись чисел: А= anan-1 ... a1a0a-1... a-m. Основание позиционной системы счисления. Определения. СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ - совокупность приемов и правил для записи чисел. Поэтому преимущественное применение получили позиционные системы счисления. Способов записи чисел цифровыми знаками существует бесчисленное множество.
«Разные системы счисления» - Алфавит СС – цифры, используемые для записи чисел. Для записи промежуточных чисел римляне использовали не только сложение, но и вычитание. Недостатки непозиционных СС. Позиционные СС. Домашнее задание. Например, IX - обозначает 9, XI - обозначает 11. Получите верные равенства (разрешается переместить 1 палочку): VII – V = XI; IX – V = VI.
«История чисел и систем счисления» - Рассмотрим перевод чисел из десятичной системы в шестнадцатеричную и обратно. В календаре подробное изображение трёх колонок на стеле 1 в Ла-Мохарра. Наиболее ранняя русская монета с индийскими цифрами относится к 1654 году. Римские цифры появились около 500 лет до нашей эры у этрусков. Кер с 1731 года служил в Москве переводчиком коллегии иностранных дел.
Всего в теме 23 презентации
МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАНИЕ
ГОРОД ОКРУЖНОГО ЗНАЧЕНИЯ НИЖНЕВАРТОВСК
МУНИЦИПАЛЬНАЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ
СРЕДНЯЯ ШКОЛА №5
Научно-исследовательская работа по теме:
«ВОЗМОЖНОСТИ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ЧИСЕЛ В РАЗЛИЧНЫХ СИСТЕМАХ СЧИСЛЕНИЯ С ДРЕВНОСТИ ДО НАШИХ ДНЕЙ »
ученица 6 «В» класса
Руководитель: Губанова Светлана Владимировна,
учитель математики
Нижневартовск
Введение……………………………………………………………….3
Первобытная система счёта..................................................................7
Основание системы счисления……………………………………….6
Нумерация……………………………………………………………...7
Древнекитайская десятичная…………………………………………9
Календарь Майя……………………………………………………….11
Система счисления Майя ……………………………………………12
Заключение…………………………………………………………….15
Список используемых информационных ресурсов…………………16
Введение
На уроках математики я познакомилась с десятичной системой счисления. У меня возник вопрос: существовали или существуют другие системы счисления. Я решила найти в различных источниках информацию по этому вопросу.
Сейчас в мире очень актуальна тема – наука Майя, особенно их предсказание конца света в 2012 году.
Режиссеры уже сняли на эту тему фильм-катастрофу, в глянцевых журналах периодически появляются статьи на тему конца света, и так далее и тому подобное. Все эти предсказания строятся на том факте, что календарь майя заканчивается именно в 2012 году и завершает эру продолжительностью 5126 лет. И мне захотелось узнать, что представляет календарь Майя?
Цель моей работы
Ответить на вопрос действительно ли предсказание народа майя достоверно.
Задачи :
Познакомиться с первобытной, славянской, древнекитайской системой счисления.
Изучить систему счисления племени Майя.
Осуществить перевод чисел с календаря Майя в десятичную систему счисления.
Первобытная система счёта
У первобытных людей не было даже чисел, они количество предметов отображали равным количеством каких-либо значков. Такими значками могли быть зарубки, черточки, точки, а так же узелки на веревках.
Это самая простая система счисления. В этой системе счисления для записи чисел используется только одна цифра. Ее можно изобразить в виде палочки , кружочка ○ , или любой другой фигуры. Тогда числа будут записываться примерно так:
и т. д.
Такая система счисления использовалась, и до сих пор используется народами, не имеющими письменности.
Но иногда такой системой счисления пользуются и современные люди, например, отмечая зарубками количество прошедших дней, или карандашом отмечая черточками в тетради количество проданных товаров.
Позже, для облегчения счета, эти значки стали группировать по три или по пять. Такая система записи чисел называется единичной (унарной), так как любое число в ней образуется путем повторения одного знака, символизирующего единицу.
Но это удобно, пока числа небольшие. Вы только представьте себе число 1 000 записанное с помощью кучки камушков, а 1 000 000? Неудобно?
И люди начали изобретать системы счисления.
Основание системы счисления
Основание системы счисления – это число, на основе которого ведется счет. Например, если основание системы счисления равно десяти, то минимальная счетная группа этой системы счисления равна десяти, это значит, что, сосчитав какие-либо предметы до десяти, мы считаем снова с единицы, но при этом запоминаем число десятков. В нашей «арабской» системе основанием является число десять. Есть системы счисления и с другим основанием. Это такие системы счисления как пятеричная, двенадцатеричная, двадцатеричная, шестидесятеричная.
Десятеричная и пятеричная система возникла от того факта, что на одной руке человека пять пальцев, на обоих руках 10 пальцев.
Так проще считать. Если добавить пальцы и на ногах, то будет понятная и двадцатеричная система. Происхождение двенадцатеричной системы тоже связано со счетом на пальцах. Считали большой палец руки и фаланги остальных четырех пальцев.
Нумерация
Славянская кириллическая десятеричная алфавитная
нумерация была создана вместе со славянской алфавитной системой для перевода священных библейских книг для славян греческими монахами братьями Кириллом и Мефодием в IX веке. Эта форма записи чисел получила большое распространение. До XVII века эта форма записи чисел была официальной на территории современной России, Белоруссии, Украины, Болгарии, Венгрии, Сербии и Хорватии. До сих пор православные церковные книги используют эту нумерацию.
Числа записывали из цифр так же слева, направо, от больших к меньшим. Числа от 11 до 19 записывались двумя цифрами, причем единица шла перед десятком:
Читаем дословно "четырнадцать" - "четыре и десять". Как слышим, так и пишем: не 10+4, а 4+10, - четыре и десять. Числа от 21 и выше записывались наоборот, сначала писали знак полных десятков.
Запись числа, использованная славянами аддитивная, то есть в ней используется только сложение:
= 800+60+3
Для того чтобы не перепутать буквы и цифры, использовались титла - горизонтальные черточки над числами, что мы видим на рисунке.
Для обозначения чисел больших, чем 900 использовались специальные значки, которые дорисовывались к букве. Так образовывались числа:
Славянская нумерация просуществовала до конца XVII столетия, пока с реформами Петра I в Россию из Европы не пришла позиционная десятичная система счисления.
Древнекитайская десятичная
Эта система одна из старейших и самых прогрессивных, поскольку в нее заложены такие же принципы, как и в современную «арабскую», которой мы с Вами пользуемся. Возникла эта система около 4 000 тысяч лет тому назад в Китае.
Числа в этой системе, так же как и у нас записывались слева направо, от больших к меньшим. Если десятков, единиц, или какого-то другого разряда не было, то сначала ничего не ставили и переходили к следующему разряду. (Во времена династии Мин был введен знак для пустого разряда - кружок - аналог нашего нуля). Чтобы не перепутать разряды использовали несколько служебных иероглифов, писавшихся после основного иероглифа, и показывающих какое значение принимает иероглиф-цифра в данном разряде.
1*1 000 = 1000;
5 * 100+4* 10+8 = 548
Даже Пушкин предложил свой вариант формы арабских чисел. Он решил, что все десять арабских цифр, включая нуль, помещаются в магическом квадрате.
Календарь Майя
Один из самых интересных и загадочных подарков древних майянцев современной цивилизации - это календарь.
Мифы и легенды майянцев скрываются в их текстах, в которых главным действующим лицом оказываются числа. Числами наполнены мифы со времен сотворения мира, а числа 1, 4, 5, 7, 8, 9, 13 поистине кажутся священными. А свойства чисел, которыми пользовались Майя просто поражают воображение.
Трудно пове рить, что всю историю человечества можно описать с помощью тринадцати чисел и двадцати символов. Но эти двадцать символов означают нечто большее, чем числа, скрывающиеся под особой формой, именуемой иероглифами. Эти иероглифы несут в себе смыслы и, таким образом, вся наука, мифология, мироздание оказывается вмешенным в матрицу размером 13 х 20. Первоначальное название этой матрицы из 260 элементов неизвестно, и археологи назвали ее «Цолькин» - «счет дней», или, буквально, «счет кинов» («кин» означает «Солнце», «день» и является основной едини цей). Цолькин, который часто называют Священным Календарем, представ ляет собой одну из самых странных нумерологических систем. Священный календарь Майя кажется на первый взгляд архаичной реликвией, записанной на кодовом язы ке, дошедшей до нас из далекого прошлого.
Посмотрев на календарь Майя, я увидела непонятные значки и рисунки. И у меня появился вопрос, что это за непонятная система счисления? Стало интересно увидеть и понять, как в древности люди писали цифры, какие для этого они применяли значки? Как из этих цифр они составляли числа?
Система счисления Майя
Система счисления Майя- это фантастически простая и гибкая система. Эта система очень интересна тем, что на ее развитие не повлияла ни одна из цивилизаций Европы и Азии. Эта система применялась для календаря и астрономических наблюдений. Характерной особенностью ее было наличие нуля (изображение ракушки). Основанием этой системы было число 20, хотя сильно заметны следы пятеричной системы.
Единицы обозначаются точкой. Черта обозначает пятерку или число кратное произведению пяти и двадцати, а раковина означает нуль, завершение.
Из этих единиц строится позиционная система майя:
кин- единицы,
виналь - двадцатки,
тун- 400,
катун -8000,
бактун -160 000.
Первые 19 чисел получались путем комбинирование точек (один) и черточек (пять).
Число 20 изображалось из двух цифр, ноль и один наверху и называлось уиналу. Записывались числа столбиком, внизу располагались наименьшие разряды, вверху наибольшие, в результате получалась «этажерка» с полками.
Так, например, нетрудно перевести в десятичную систему счисления следующие символы
Получается чрезвычайно простая и гибкая система позиционного счисления.
В двадцатеричной системе счета древних майя есть исключение: стоит прибавить к числу 359 только одну единицу первого порядка, как это исключение немедленно вступает в силу. Суть его сводится к следующему: 360 является начальным числом третьего порядка и его место уже не на второй, а на третьей полке.
Но тогда выходит, что начальное число третьего порядка больше начального числа второго не в двадцать раз (20x 20=400, а не 360!), а только в восемнадцать! Значит, принцип двадцатеричности нарушен! Все верно. Это и есть исключение.
Дело в том, что у индейцев Майя 20 дней - кинов образовывали месяц или виналь. 18 месяцев - виналов образовывали год или туну (360 дней в году) и так далее:
Кин = 1 день.
Виналь = 20 кин = 20 дней.
Тун = 18 виналь = 360 дней = около 1 года.
Катун = 20 тун = 7200 дней = около 20 лет.
Бактун = 20 катун = 144000 дней = около 400 лет.
Пиктун = 20 бактун = 2880000 дней = около 8000 лет.
Калабтун = 20 пиктун = 57 600 000 дней = около 160000 лет.
К"инчильтун = 20 калабтун = 1152000000 дней = около 3200000 лет.
Алавтун = 20 кинчильтун = 23040000000 дней = около 64000000 лет.
Заключение
Я познакомилась с календарем индейцев Майя, изучила их систему счисления, узнала как возникли и развивались системы счисления разных народов мира.
Я убедилась, что система счисления индейцев Майя достаточно понятна, но еще раз посмотрев на их календарь, я смогла прочитать некоторые цифры, но не поняла его полное строение, т.к изображение нечеткое, стертое временем. Поэтому я считаю, что предсказание конца света в 2012 году не может быть точным.
В своей исследовательской работе хочется продолжить изучение систем счисления и ответь на вопрос, почему весь современный мир принял одну систему счисления?
Список используемых информационных ресурсов
1.Ван дер Ванден Б.Л. Пробуждающаяся наука М.,1959
2.Данн Дальмедино А.,Пейффер Ж., Пути и лабиринты. Очерки по истории математики М.,1986
3. Гельфман Э.Г., Вольфенгаут Ю.Ю., Демидова Л.Н., Жилина Е.И., Лобаненко Н.Б., Холодная М.А. Учебное пособие Десятичные дроби в Мум
Поскольку самые первые образцы писменности майя, известные в настоящее время, относятся к концу III века н. э., то возникновение системы счисления у цивилизации майя относят к началу периода Древнего царства (250 - 900 гг н. э., или, как его ещё называют, Классическому периоду). Систему счисления этой древней цивилизации мезоамерики (т. е. Центральной Америки) следует признать очень высокоразвитой: майя не только использовали позиционный принцип, но и ввели понятие нуля. Однако их система счисления была не десятиричной, как у нас, и даже не шестидесятеричной, как, например, в Древнем Вавилоне, а двадцатеричной, и цифры записывались не горизонально, а вертикально - снизу вверх. То, что в основу их системы чисел было положено число 20, объясняется количеством пальцев на руках и ногах. Подтверждение именно такому объяснению возникновения двадцатеричной системы счета мы находим в этимологической связи слова «виналь» (так на языке майя назывался двадцатидневный месяц) со словами «двадцать» и «человек».
Майя записывали свои цифровые знаки в виде точек и тире (рис. 32), причем точка всегда означала единицы данного порядка, а тире - пятерки. Особый знак для пятерки послужил основанием для зачисления системы счета древних майя в так называемую пятерично-двадцатеричную, однако вряд ли можно согласиться с этим, поскольку пятерки-тире лишь упрощали написание цифровых знаков, не внося каких-либо принципиальных изменений в двадцатеричную систему счета.
В приведенной таблице не хватает двадцатой цифры. Но это не 20, ибо у майя 20, так же как у нас 10, было уже не цифрой, а составным двузначным числом. Двадцатой цифрой счета древних майя был «нуль», и изображался он в виде стилизованной раковины (рис. 33). А вот первым двузначным числом в их двадцатеричной системе было, как раз, число 20. Его майя изображали, рисуя над раковиной-нулём точку (рис. 33) и располагая уже во втором снизу ряду цифр. Если же в числе наличествовала хотя бы одна-единственная единица в каком-либо из вертикальных разрядов числовой позиции, то данная раковина-нуль уже не изображалась (рис. 34). Если же раковина писалась, то это означало, что настоящее число было образовано без участия единиц той "полки", на которой в данном случае находилась раковина. Она говорила, что единиц этой "полки" (на которой она расположилась) попросту нет, как нет, например, десятков, сотен или тысяч в числе, записанном арабскими цифрами, если на отведенном для них месте стоят нули.
Как видите, числа в системе счисления древних майя записываются в столбец, причем верхние символы являются старшими. Самая нижняя позиция соответствует разряду единиц, а «этажом выше» располагалается число двадцаток. Еще выше единица соответствовует не кратным числа 400, как можно было бы ожидать, а кратным числа 360. За исключением этого разряда, связанного, насколько можно судить, с календарными соображениями и продолжительностью года, все остальные более высокие позиции соответствуют степеням числа 20. Например, число 6789 в системе счисления, принятой у майя, записывалось как (см. рис. 36).
