Теоретическая часть

Глава I. Теория вероятностей – что это?………………..………………....................................…3

1. История возникновения и развития теории вероятностей …………………………..…..3

   Основные понятия теории вероятностей…………………………………………….…….3

   Теория вероятностей в жизни……………………………………………………………....6 Практическая часть

Глава II. ЕГЭ как пример использования теории вероятностей жизни……….…....…... 7

2.1. Единый государственный экзамен ………………. 7

Экспериментальная часть………………………………………...……………………….………..9

Анкетирование………………………………………………………………………………..…9

Эксперимент………………………………………..……………………………………………9

Заключение………………………………………..………………………………………… 10

Литература……………………………………………………………………………....………11

Приложение………………………………………………………………..……………… 12

Высшее назначение математики…состоит в том,

чтобы находить скрытый порядок в хаосе, который нас окружает.

Н.Винер

Введение

Мы, не раз слышали или сами говорили “это возможно”, “это не возможно”, это обязательно случится”, “это маловероятно”. Такие выражения обычно употребляют, когда говорят о возможности наступления события, которое в одних и тех же условиях может произойти, а может и не произойти.

Цель моего исследования : выявить вероятность успешной сдачи экзамена обучающимися 11 класса путем угадывания правильного ответа, применяя теорию вероятностей.

Для реализации целей я поставила перед собой задачи :

1) собрать, изучить и систематизировать материал о теории вероятностей, в оспользовавшись различными источниками информации;

2) р ассмотреть использование теории вероятности в различных сферах жизнедеятельности;

3) п ровести исследование по определению вероятности получения положительной оценки при сдаче ЕГЭ путем угадывания правильного ответа.

Я выдвинула гипотезу: с помощью теории вероятностей можно с большой степенью уверенности предсказать события, происходящие в нашей жизни.

Объект исследования – теория вероятностей.

Предмет исследования: практическое применение теории вероятностей .

Методы исследования : 1) анализ,2) синтез, 3) сбор информации, 4) работа с печатными материалами, 5) анкетирование, 6) эксперимент.

Я считаю, что вопрос, исследованный в моей работе, является актуальным по ряду причин:

Случай, случайность – с ними мы встречаемся повседневно. Кажется, как можно «предвидеть» наступление случайного события? Ведь оно может произойти, а может и не сбыться! Но математика нашла способы оценивать вероятность наступления случайных событий. Они позволяют человеку уверенно чувствовать себя при встрече со случайными событиями.

Серьёзный шаг в жизни каждого выпускника – Единый государственный экзамен. Мне тоже предстоит на следующий год сдавать экзамены. Успешная его сдача - это дело случая или нет?

Глава 1.Теория вероятностей.

1. История

Корни теории вероятностей уходят далеко вглубь веков. Известно, что в древнейших государствах Китае, Индии, Египте, Греции уже использовались некоторые элементы вероятностных рассуждений для переписи населения, и даже определения численности войска неприятеля.

Первые работы по теории вероятности, принадлежащие французским учёным Б. Паскалю и П. Ферма, голландскому учёному X. Гюйгенсу, появились в связи с подсчётом различных вероятностей в азартных играх. Крупный успех теории вероятностей связан с именем швейцарского математика Я. Бернулли (1654-1705гг.). Он открыл знаменитый закон больших чисел: дал возможность установить связь между вероятностью какого-либо случайного события и частотой его появления, наблюдаемой непосредственно из опыта. С ледующий период истории теории вероятностей (XVIII в. и начало Х I Х в.) связан с именами А. Муавра, П. Лапласа, К. Гаусса и С. Пуассона. В этот период теория вероятностей находит ряд применений в естествознании и технике .

Третий период истории теории вероятностей , ( вторая половина XIX в.) связан в основном с именами русских математиков П. Л. Чебышева, А. М. Ляпунова. Наиболее распространённая в настоящее время логическая схема построения основ теории вероятностей разработана в 1933 году математиком А. Н. Колмогоровым.

1. Определение и основные формулы

Итак, насколько эта теория полезна в прогнозировании и насколько она точна? Каковы ее основные тезисы? Какие полезные наблюдения можно вынести из текущей теории вероятностей?

Основным понятием теории вероятностей является вероятность . Это слово достаточно часто применяется в повседневной жизни. Думаю, каждому знакомы фразы: «Завтра, вероятно, выпадет снег», или «вероятнее всего в выходные я поеду на природу». В словаре С.И.Ожегова дается толкование слова вероятность как «возможности осуществления чего-нибудь». И здесь же дается определение понятию теории вероятностей как «разделу математики, изучающей закономерности, основанные на взаимодействии большого числа случайных явлений».

В учебнике «Алгебра и начала анализа» для 10-11 классов под редакцией Ш.А.Алимова дается следующее определение: т еория вероятностей - раздел математики, который «занимается исследованием закономерностей в массовых явлениях».

При изучении явлений, мы проводим эксперименты, в ходе которых происходят различные события, среди которых различают: достоверные, случайные, невозможные, равновероятные.

Событие U называют достоверным U обязательно произойдет. Например, достоверным будет появление одного из шести чисел 1,2,3,4,5,6 при одном бросании игральной кости. Событие называют случайным по отношению к некоторому испытанию, если в ходе этого испытания оно может произойти, а может и не произойти. Например, при однократном бросании игральной кости может выпасть число 1 или не выпасть, т.е. событие является случайным, потому что оно может произойти, а может и не произойти . Событие V называют невозможным по отношению к некоторому испытанию, если в ходе этого испытания событие V не произойдет . Например, невозможным является выпадение числа 7 при бросании игрального кубика. Равновероятные события – это события, которые при данных условиях имеют одинаковые шансы для наступления.

А как подсчитать вероятность случайного события? Ведь если случайное, значит, не подчиняется закономерностям, алгоритмам. Оказывается, и в мире случайного действуют определенные законы, позволяющие вычислять вероятности.

Принято вероятность события А обозначать буквой Р(А), тогда формула для вычисления вероятности записывается так:

Р(А)=, где m ≤ n (1)

Вероятностью Р(А) события А в испытании с равновозможными элементарными исходами называется отношение числа исходов m , благоприятствующих событию А, к числу исходов n всех исходов испытания. Из формулы (1) следует, что

0≤ Р(А)≤ 1.

Данное определение принято называть классическим определением вероятности . Оно применяется, когда теоретически удается выявить все равновозможные исходы испытания и определить благоприятствующие исследуемому испытанию исходы. Однако на практике часто встречаются испытания, число возможных исходов которых очень велико. Например, без многократного подбрасывания кнопки трудно определить, равновозможны ли ее падения «на плоскость» или на «острие». Поэтому используется и статистическое определение вероятности. Статистической вероятностью называют число, около которого колеблется относительная частота события (W ( A ) – отношение числа испытаний М, в которых это событие произошло, к числу всех проведенных испытаний N ) при большом числе испытаний.

Также я познакомилась с формулой Бернулли - это формула в , позволяющая находить вероятность появления события A при независимых испытаниях. Названа в честь выдающегося швейцарского математика , выведшего формулу:

P(m)=

Чтобы найти каковы шансы наступления события А в данной ситуации, необходимо :

найти общее количество исходов этой ситуации;

найти количество возможных исходов, при которых произойдёт событие А;

найти, какую часть составляют возможные исходы от общего количества исходов.

1. 1. Теория вероятностей в жизни.

В развитии теории вероятностей весьма большую роль играли задачи, связанные с азартными играми, в первую очередь с игрой в кости.

Игры в кости

Инструментом для игры являются кубики (кости) в количестве от одного до пяти в зависимости от вида игры. Суть игры состоит в выбрасывании кубиков и дальнейшем подсчёте очков, количество которых и определяет победителя. Основной принцип игры в кости - каждый игрок по очереди бросает некоторое количество игральных костей (от одной до пяти), после чего результат броска (сумма выпавших очков; в некоторых вариантах используются очки каждой кости по отдельности) используется для определения победителя или проигравшего.

Лотерея

Лотерея - организованная игра, при которой распределение выгод и убытков зависит от случайного извлечения того или иного билета или номера (жребия, лота).

Карточные игры

Карточная игра - игра с применением игральных карт, характеризуется случайным начальным состоянием, для определения которого используется набор (колода).

Важным принципом практически всех карточных игр является случайность порядка карт в колоде.

Игровые автоматы

Известно, что в игровых автоматах скорость вращения барабанов зависит от работы микропроцессора, повлиять на который нельзя. Но можно вычислить вероятность выигрыша на игровом автомате, в зависимости от количества символов на нем, числа барабанов и других условий. Однако выиграть это знание вряд ли поможет. В наше время наука о случайном очень важна. Она применяется в селекции при разведении ценных сортов растений, при приемке промышленной продукции, при расчете графика разгрузки вагонов и т.д.

Глава II. ЕГЭ как пример использования теории вероятностей жизни

2.1. Единый государственный экзамен

Я обучаюсь в 10 классе, и на следующий год мне предстоит сдавать экзамены.

Среди нерадивых учеников возник вопрос: «А нельзя ли выбрать наугад ответ и при этом получить положительную оценку за экзамен?» Я провела опрос среди обучающихся: можно ли практически угадать 7 заданий, т.е. сдать ЕГЭ по математике без подготовки. Результаты такие: 50% учащихся считают, что смогут сдать экзамен указанным выше способом.

Я решила проверить, правы ли они? Ответить на этот вопрос можно путем использования элементов теории вероятностей. Я хочу проверить это на примере предметов, обязательных для сдачи экзаменов: математика и русский язык и на примере наиболее предпочитаемых предметов в 11 классе. По данным 2016 года 75% выпускников МБОУ «Кружилинская СОШ» выбрали обществознание.

А) Русский язык. По данному предмету тест включает 24 заданий из которых 19 заданий с выбором ответа из предложенных. Для того, чтобы пройти порог на экзамене в 2016 году достаточно правильно выполнить 16 заданий. Каждое задание имеет несколько вариантов ответов, один из которых правильный. Определить вероятность получения положительной оценки на экзамене можно по формуле Бернулли:

Схема Бернулли описывает эксперименты со случайным исходом, заключающиеся в следующем. Проводятся n последовательных независимых одинаковых экспериментов, в каждом из которых выделяется одно и тоже событие А, которое может наступить или не наступить в ходе эксперимента. Так как испытания одинаковы, то в любом из них событие А наступает с одинаковой вероятностью. Обозначим ее р = Р(А). Вероятность дополнительного события обозначим q. Тогда q = P(Ā) = 1-p

Пусть событие А – это правильно выбранный ответ из четырех предложенных в одном задании первой части. Вероятность события А определена как отношение числа случаев, благоприятствующих этому событию (т.е. правильно угаданный ответ, а таких случаев 1), к числу всех случаев (таких случаев 4). Тогда p=P(A)= и q=P(Ā)=1-p=.

119759850

0,00163*100%0,163%

Таким образом, вероятность благополучного исхода примерно равна 0,163%!

На примере демонстрационного варианта теста ЕГЭ 2016 года я предложила обучающимся 11 класса выбрать ответы путем угадывания. И вот, что у меня получилось. Средний балл по классу составил 7. Наибольшее количество баллов набрала Софина Яна - 15, наименьшее – Зыков Данил (3 балла). 16 баллов набрал 1 ученик, что составляет 12,5%.(Приложение I)

Обществознание

Первая часть демонстрационного варианта ЕГЭ 2016 года по обществознанию содержит 20 заданий с выбором ответа, из которых только один верный. Определим вероятность получения положительной оценки. Рособрнадзором установлен минимальный первичный балл по обществознанию – 19.

Вероятность получения положительной оценки:

15504

0,000003*100%=0,0003%

Таким образом, вероятность благополучного исхода примерно равна 0,0003%!

Я попросила обучающихся 11 класса угадать ответы по обществознанию. Средний балл составил 4,2 балла. Самый высокий балл -7, самый низкий- 1. Таким образом, ни один обучающийся не смог набрать нужное количество баллов по обществознанию. (Приложение I)

Математика

В 2016 году демонстрационный вариант КИМ ЕГЭ по МАТЕМАТИКЕ содержит 20 заданий. Для успешной сдачи экзамена необходимо было решить не менее 7 заданий. Применим формулу Бернулли.

(8)=* *; ==9; (8)=9**=0,000102996;

0,0001*100%=0,01%

Вывод: вероятность получения положительной оценки составляет 0,01%.

Эксперимент, проведенный, среди моих одноклассников показал, что самое большое количество совпадений - 3, средний балл составил 1,7 балла.

Экспериментальная часть

Анкетирование

Анкетирование проводилось среди обучающихся 9-11 классов. Им было предложено ответить на следующий вопрос:

1.Можно ли сдать экзамены без подготовки, угадывая ответ в заданиях?

Результаты проведенного опроса отражены в диаграммах. (Приложение II)

Эксперимент

1.Среди обучающихся 11 класса на примере демонстрационного варианта контрольно-измерительных материалов ЕГЭ-2016 провела эксперимент с угадыванием ответа по русскому языку и обществознанию. Результаты отражены в таблице 1 (Приложение I) .

2.Своим одноклассникам и одноклассницам предложила угадать ответ в демонстрационном варианте по математике за 2016 год, результаты также представлены в приложении I.

В результате проведенного эксперимента и применяя формулу Бернулли, я доказала, что сдать экзамены путем угадывания ответа невозможно. Только планомерная, вдумчивая и добросовестная учеба в школе позволит выпускнику хорошо подготовиться к участию в ЕГЭ, и успешно решить судьбоносную проблему при переходе на более высокий уровень обучения в вуз.

Заключение

В результате проделанной мной работы, я добилась реализации поставленных перед собой задач:

во-первых , поняла, что теория вероятностей - это огромный раздел науки математики и изучить его в один заход невозможно;

во-вторых , перебрав множество фактов из жизни, и проведя эксперименты, я поняла, что действительно с помощью теории вероятностей можно предсказать события, происходящие в различных сферах жизнедеятельности ;

в-третьих , исследовав вероятность успешной сдачи обучающимися 11 класса ЕГЭ по математике, я при шла к выводу , что т олько планомерная, вдумчивая и добросовестная учеба в школе позволит выпускнику хорошо подготовиться к участию в ЕГЭ. Таким образом, выдвинутая мной гипотеза подтвердилась, с помощью теории вероятностей я доказала, что к экзаменам надо готовиться, а не рассчитывать на авось.

На примере моей работы можно сделать и более общие выводы: подальше держаться от всяких лотерей, казино, карт, азартных игр вообще. Всегда надо подумать, оценить степень риска, выбрать наилучший из возможных вариантов – это, я думаю, пригодится мне в дальнейшей жизни.

Литература

1. Алимов Ш.А.Алгебра и начала математического анализа.10-11 классы: учеб.для общеобразовательных учреждений: базовый уровень. М.:Просвещение,2010.

2. Бродский Я.С. «Статистика. Вероятность. Комбинаторика»- М.: Оникс; Мир и Образование, 2008 г.

3. Бунимович Е.А., Суворова С.Б. Методические указания к теме «Статистические исследования»//Математика в школе.-2003.-№3.

4. Гусев В.А. Внеклассная работа по математике в 6-8 классах.-М.:Просвещение,1984.

Лютикас В.С. Факультативный курс по математике: Теория вероятностей.-М.:Просвещение 1990.

Макарычев Ю.Н. Алгебра: элементы статистики и теории вероятностей: учеб. пособие для учащихся 7-9 кл. общеобразоват. учреждений-М.:Просвещение,2007.

Ожегов С.И. Словарь русского языка:.М.:Рус.яз.,1989.

Федосеев В.Н.Элементы теории вероятностей для VII-IX классов средней школы.//Математика в школе.-2002.-№4,5.

Что такое. Кто такой: В 3 т.Т.1 – 4-е изд. перераб.и доп.-М.:Педагогика-Пресс,1997.

Ресурсы:

Методическая разработка урока

« Теория вероятности в жизни ».

Предмет: математика

Преподаватель: Ракитская В.Н.

Введение

План занятия

Методика проведения занятия

2.1.Организационный момент

2.2.Объяснение нового материала

2.3.Закрепление

2.4. Домашнее задание

2.5. Подведение итогов. Оценки за урок

Заключение

Введение .

Тема : «Теория вероятности в жизни» является одной из важных тем в разделе «Теория вероятности».

С целью реализации поставленных целей, мною был выбран урок -коллоквиум. Формы наглядностей на данном уроке выбраны такие, которые не только дополняют совестную информацию преподавателя, но и сами выступают содержательной информацией.

Методическая разработка по проведению урока - коллоквиума с применением различных методов обучения на каждом этапе урока окажет помощь в совершенствовании процесса обучения.

I. План занятия

По дисциплине «Математика» Специальность 080302 «Коммерция» для студентов 2 курса К группы

Дата проведения:

Тема: «Теория вероятностей в нашей жизни»

Эпиграф урока : «Можно и нужно для задач брать примеры из окружающей

жизни»

Цели:

1. Углубить и систематизировать знания по теме «Теория вероятности в нашей жизни»

2. Продолжить развитие умения действовать самостоятельно, планировать и реализовывать свою деятельность, вести контроль и самоконтроль.

3. Продолжить формировать стремление к глубокому усвоению изучаемого материала.

Время: 1 час

Тип урока: Комбинированный

Ход урока

Методы обучения

I . Организационный момент: 1.Взаимное приветствие

2.Проверка состава студентов

Беседа

II . Постановка целей и задач

III . Обобщение и систематизация учебного материала:

1.Доклады

2.Решение задач:

а)на классическое определение

б) на формулу Бернулли

Рассказ с элементами беседы

Решение задач

IV. Домашнее задание

Сочинение на тему: «Теория

V. Итоги урока

2. Методика проведения занятия .

2.1. Организационно - психологический момент. Мотивация.

2.1.1. Сообщение темы и целей урока.

Педагог приветствует студентов. Говорит, что сегодня они познакомятся c основными понятиями теории вероятностей, и рассмотрят, в каких областях применяется теория вероятностей.

2.1.2.Сообщение: Теория вероятности в жизни (историческая справка).

Как наука теория вероятностей зародилась в 17-ом веке. Возникновение понятия вероятности было связано как с потребностями страхования, получившего значительное распространение в ту эпоху, когда заметно росли торговые связи и морские путешествия, так и в связи с запросами азартных игр. Слово «азарт», под которым обычно понимается сильное увлечение, горячность, является транскрипцией французского слова hazard , буквально означающего «случай», «риск». Азартными называются те игры (карты, домино и т.п.), в которых выигрыш зависит главным образом не от умения игрока, а от случайности. Риск, играющий важную роль в этих играх, и приводит участников в необычайное состояние сильного увлечения и горячности. Азартные игры практиковались в ту пору главным образом среди знати, феодалов и дворян.

2.2. Объяснение нового материала.

Данная тема имеет широкий спектр межпредметных связей: медицина, азартные игры, промышленности, механика и другие науки.

Рассмотрим задачи на с применением классического определения вероятностей

Задачи:

№1

В колоде 52 карты, их перемешивают, наугад вынимают 3-й карты.

Какова вероятность, что выпадут 3, 7, туз?

Ответ: Р(А)=0,0029 №2

Карточка «Спортлото» содержит 36 чисел. В тираже участвуют 5 чисел. Какова вероятность того, что верно будет угадано 4 числа?

Ответ: Р(А)=0,00041

2) Вокруг нас происходит очень много событий, исход которых предсказать заранее невозможно. Например, подбрасывая монету, мы не знаем, какой стороной она упадет. Стреляя однотипными снарядами без изменения наводки орудия, в одну точку попасть невозможно. Производя повторные высокоточные (прецизионные) измерения, например, скорости света или очень больших расстояний, обычно получают лишь приблизительно равные, но разные результаты. Не возможно абсолютно точно" предсказать как объемы продаж товаров за фиксированный промежуток времени, так и сумму доходов, получаемых от реализации последних.

Все эти эксперименты производятся в одинаковых условиях, а исходы их различны и непредсказуемы. Такие эксперименты и исходы называются случайными.

Примерами случайных событий являются: соотношение курсов валют; доходность акций; цена реализованной продукции; стоимость выполнения больших проектов; продолжительность жизни человека; броуновское движение частиц, как результат их взаимных соударений и многое другое. Случайность и потребность в консолидации усилий по борьбе со стихией (природы, рынка и т.д.), точнее создание структур для возмещения неожиданного ущерба за счет взносов всех участников, породила теорию и институты страхования. При этом интуитивно ясно, Что случайные явления, происходящие даже с однотипными объектами, могут качественно отличаться друг от друга.

Например, продолжительности жизни в разных странах и в разные эпохи могут принципиально отличаться друг от друга. Первобытные люди жили около 30-40 лет, даже в России за последние годы она подвергается значительным изменениям, то

поднималась до 70 лет, затем начала значительно падать, более того, она различается на 10-15 лет для мужчин и женщин.

Не состоятельно было бы думать, что какие древние полководцы, как Александр Македонский или Дмитрий Донской, готовясь к сражению, уповали только на доблесть и искусство воинов. Несомненно, они на основании наблюдений и опыта военного руководства умели как-то оценить вероятность своего возвращения со щитом или на щите, знали, когда принимать бой, когда уклониться от него. Они не были рабами случая, но вместе с тем они были еще очень далеки от теории вероятностей. Позднее,с опытом, человек все чаще стал взвешивать случайные события, классифицировать их исходы как невозможные, возможные и достоверные.

Теорию вероятностей нередко называют «наукой о случайном». На многих примерах можно убедиться в том, что массовые случайные явления тоже имеют свои закономерности, знание которых можно успешно использовать в практической деятельности человека. Например: суммы, выручаемые от реализации товаров на рынке, во многом диктуются случаем - от платежеспособного спроса населения до поведения конкурентов и умения привлечь клиентов.

Задачи на классическое определение вероятности.

№1

Студент знает ответы на 20 теоретических вопросов из 30 и может решить 30 задач из 50предлагаемых на зачете. Какова вероятность того, что студент полностью ответит на билет, который состоит из двух теоретических вопросов и одной задачи?

Ответ: Р(А)=0,23

№2

В партии из 50 изделий 10 бракованных. Для выборочного контроля отобрано 5 изделий.

Какова вероятность того, что среди отобранных изделий бракованными окажутся 2?

Ответ: Р(А)= 0,21

На развитие теории вероятностей оказали влияние более серьезные потребности науки и запросы практики, в первую очередь страховое дело, начатое в некоторых странах еще в 14-ом веке. В 16 - 17-ом веках учреждение страховых обществ и страхование судов от пожара распространилось во многих европейских странах. Азартные игры были для ученых только удобной моделью для решения задач и анализа понятий теории вероятности.

В начале 18-ого века Якоб Бернулли, развивая идеи Гюйгенса, разработал в своей книге «Искусство предложений», посмертно опубликованной в 1713г., основы комбинаторики как аппарата для исчисления вероятностей - «теорему Бернулли», являющуюся важным частным случаем так называемого «закона больших чисел», открытого в середине прошлого столетия П.Л. Чебышевым. Благодаря теореме Бернулли теория вероятностей шагнула далеко за пределы вопросов азартных игр и применяется теперь во многих областях практической жизни и человеческой деятельности.

Задачи по формуле Якоба Бернулли.

№1

Вероятность того, что образец бетона выдержит нормативную нагрузку, равна 0,9.

Какова вероятность того, что из 7 образцов испытание выдержат ровно 5? Ответ: Р 7 ,5=0,124

№2

Вероятность заболевания гриппом во время эпидемии равна 0,4. Какова вероятность того, что из 6 сотрудников фирмы заболеют ровно 4? Ответ: Рб,4= 0,138

№3

Определить вероятность того, что в семье, имеющей 5 детей, будет Здевочки и 2 мальчика.

Вероятность рождения мальчика и девочки предполагаются одинаковыми. Ответ: Ps ,3= 0,31

Итак, р азвитие естествознания и техники точных измерений, военного дела и связанной с ним теорией стрельбы, учение о молекулах и кинетической теории газов ставили перед учеными конца 18-ого и начала 19-ого века все новые и новые вые задачи из теории вероятностей. Одной из них была разработка теории ошибок измерений. Этой проблемой занимались многие математики, в том числе Котес, Симпсон, Лагранж, Лаплас.

В настоящее время теория вероятностей продолжает развиваться в тесном контакте с развитием техники и разных ветвей современной теоретической и прикладной математики.

Домашнее задание: Сочинение на тему: «Теория вероятности в нашей жизни» или составить задачи на применение теории вероятности в жизни

Подведение итогов . Оценки за урок.

Заключение

Данная методика проведения урока коллоквиума помогает реализовывать поставленные цели и задачи:

Прививать положительное отношение к знаниям;

Развивать контроль и самоконтроль;

Обобщать и систематизировать знания по разделу «Теория вероятности в жизни»

Обрабатывать вычислительные навыки при решении задач;

Активизировать умственную деятельность на протяжении всего урока;

Прививать интерес к дисциплине;

Пополнять словарный запас.


Содержание
Введение 3
1. История возникновения 4
2. Возникновение классического определения вероятности 9
3. Предмет теории вероятности 11
4. Основные понятия теории вероятности 13
5. Применение теории вероятностей в современном мире 15
6. Вероятность и воздушный транспорт 19 Заключение 20
Список литературы 21


Введение

Случай, случайность - с ними мы встречаемся повседневно: случайная встреча, случайная поломка, случайная находки, случайная ошибка. Этот ряд можно продолжать бесконечно. Казалось бы, тут нет места для математики, но и здесь наука обнаружила интересные закономерности - они позволяют человеку уверенно чувствовать себя при встрече со случайными событиями.
Теорию вероятностей можно определить как раздел математики, в котором изучаются закономерности присущие случайным событиям. Методы теории вероятностей широко применяются при математической обработке результатов измерений, а также во многих задачах экономики, статистики, страхового дела, массового обслуживания. Отсюда не трудно догадаться, что и в авиации теория вероятностей находит очень широкое применение.
Моя будущая диссертационная работа будет связана со спутниковой навигацией. Не только в спутниковой навигации, но и в традиционных средствах навигации, теория вероятностей получило очень широкое применение, потому что через вероятность количественно выражаются большинство эксплуатационно-технических характеристик радиотехнических средств.


1. История возникновения

Сейчас уже трудно установить, кто впервые поставил вопрос, пусть и в несовершенной форме, о возможности количественного измерения возможности появления случайного события. Ясно одно, что мало-мальски удовлетворительный ответ на этот вопрос потребовал длительного времени и значительных усилий ряда поколений выдающихся исследователей. В течение долгого периода исследователи ограничивались рассмотрением разного рода игр, особенно игр в кости, поскольку их изучение позволяет ограничиваться простыми и прозрачными математическими моделями. Однако следует заметить, что многие отлично понимали то, что позднее было сформулировано Христианом Гюйгенсом: «...я полагаю, что при внимательном изучении предмета читатель заметит, что имеет дело не только с игрой, но что здесь закладываются основы очень интересной и глубокой теории».
Мы увидим, что при дальнейшем прогрессе теории вероятностей глубокие соображения как естественнонаучного, так и общефилософского характера играли большую роль. Эта тенденция продолжается и в наши дни: мы постоянно наблюдаем, как вопросы практики - научной, производственной, оборонной - выдвигают перед теорией вероятностей новые проблемы и приводят к необходимости расширения арсенала идей, понятий и методов исследования.
Развитие теории вероятностей, а с нею и развитие понятия вероятности, можно разбить на следующие этапы.
1. Предыстория теории вероятностей. В этот период, начало которого теряется в веках, ставились и решались элементарные задачи, которые позже будут отнесены к теории вероятностей. Никаких специальных методов в этот период не возникает. Этот период кончается работами Кардано, Пачоли, Тарталья и др.
С вероятностными представлениями мы встречаемся еще в античности. У Демокрита, Лукреция Кара и других античных ученых и мыслителей мы есть глубокие предвидения о строении материи с беспорядочным движением мелких частиц (молекул), рассуждения о равновозможных исходах и т.п. Еще в древности делались попытки сбора и анализ некоторых статистических материалов – все это(а так же и другие проявления внимания к случайным явлениям)создавало почву для выработки новых научных понятий, в том числе и понятия вероятности. Но античная наука не дошла до выделения этого понятия.
В философии вопрос о случайном, необходимом и возможном всегда был одним из основных. Философская разработка этих проблем также оказала влияние на формирование понятия вероятности. В целом в средневековье наблюдается только разрозненные попытки размыслить встречающиеся вероятностные рассуждения.
В работах Пачоли, Тарталья и Кардано уже делается попытка выделить новое понятие – отношение шансов – при решении ряда специфических задач, прежде всего комбинаторных.
2. Возникновение теории вероятности как науки. К середине XVII в. вероятностные вопросы и проблемы, возникающие в статистической практике, в практике страховых обществ, при обработке результатов наблюдения и в других областях, привлекли внимание ученых, так как они стали актуальными вопросами. В первую очередь этот период связан с именами Паскаля, Ферма и Гюйгенса. В этот период вырабатываются специфические понятия, такие как математическое ожидание и вероятность (как отношение шансов), устанавливаются и используются первые свойства вероятности: теоремы сложения и умножения вероятностей. В это время теорема вероятностей находит применение в страховом деле, демографии, в оценке ошибок наблюдения, широко используя при этом понятие вероятности.
3. Следующий период начинается с появления работы Бернулли «Искусство предположений» (1713 г.), в которой в первые была доказана первая предельная теорема – простейший случай закона больших чисел. К этому периоду, который продолжался до середины XIX в., относятся работы Муавра, Лапласа, Гаусса и др. В центре внимания в это время стоят предельные теоремы. Теория вероятностей начинает широко применяться в различных областях естествознания. И хотя в этот период начинают применяться различные понятия вероятности (геометрическая вероятность, статистическая вероятность), господствующее положение занимает классическое определение вероятности.
4. Следующий период развития теории вероятностей связан прежде всего с Петербургской математической школой. За два столетия развития теории вероятностей главными её достижениями были предельные теоремы, но не были выяснены границы их применения и возможности дальнейшего обобщения. Наряду с успехами были выявлены и существенные недостатки в её обосновании, это выражено в недостаточно четком представлении о вероятности. В теории вероятности создалось положение, когда дальнейшее её развитие требовало уточнения основных положений, усиления самих методов исследования.
Это было осуществлено русской математической школой во главе с Чебышевым. Среди её крупнейших представителей Маркова и Ляпунова.
В этот период в теорию вероятностей входят оценки приближений предельных теорем, а так же происходит расширение класса случайных величин, подчиняющихся предельным теоремам. В это время в теории вероятностей начинают рассматривать некоторые зависимые случайные величины (цепи Маркова). В теории вероятности возникают новые понятия, как «теория характеристических функций», «теория моментов» и др. И в связи с этим она получило широкое распространение в естественных науках, в первую очередь это относиться к физике. В этот период создается статистическая физика. Но это внедрение вероятностных методов и понятий в физику шло в довольно большом отрыве от достижений теории вероятностей. Вероятности, применяемые в физике, были не совсем теми же, как в математике. Существующие понятия вероятности не удовлетворяли потребностей естественных наук и в результате этого начали возникать различные трактовки вероятности, которые были трудно сводимы к одному определению.
Развитие теории вероятностей в начале XIX в. Привело к необходимости пересмотра и уточнения её логических основ, в первую очередь понятия вероятности. Это требовало развития физики и применения в ней вероятностных понятий и аппарата теории вероятностей; ощущалось неудовлетворенность классического обоснования лапласовского типа.
5. Современный период развития теории вероятностей начался с установления аксиоматики (аксиоматика - система аксиом какой-либо науки). Этого в первую очередь требовала практика, так как для успешного применения теории вероятностей в физике, биологии и других областях науки, а так же в технике и военном деле необходимо было уточнить и привести в стройную систему её основные понятия. Благодаря аксиоматике теория вероятностей стала абстрактно-дедуктивной математической дисциплиной, тесно связанной с теорией множеств. Это обусловило широту исследований по теории вероятностей.
Первые работы этого периода связаны с именами Бернштейна, Мизеса, Бореля. Окончательное установление аксиоматики произошло в 30-е годы XX в. Анализ тенденций развития теории вероятностей позволил Колмогорову создать общепринятую аксиоматику. В вероятностных исследованиях аналогии с теорией множеств начали играть существенную роль. Идеи метрической теории функций все глубже стали проникать в теорию вероятностей. Возникла потребность в аксиоматизации теории вероятностей исходя из теоретико-множественных представлений. Такая аксиоматика и была создана Колмогоровым и способствовала тому, что теория вероятностей окончательно укрепилась как полноправная математическая наука.
В этот период понятие вероятности проникает почти во все во все сферы человеческой деятельности. Возникают самые различные определения вероятности. Многообразие определений основных понятий - существенная черта современной науки. Современные определения в науке - это изложение концепций, точек зрения, которых может быть много для любого фундаментального понятия, и все они отражают какую-нибудь существенную сторону определяемого понятия. Это относится и к понятию вероятности.


2. Возникновение классического определения вероятности

Понятие вероятности играет громадную роль в современной науке, а тем самым является существенным элементом современного мировоззрения в целом, современной философии. Все это порождает внимание и интерес к развитию понятия вероятности, которое тесно связано с общим движением науки. На понятия вероятности оказали существенное влияние достижения многих наук, но и это понятие в свою очередь заставляло их уточнять подход к исследованию миру.
Образование основных математических понятий представляет важные этапы в процессе математического развития. До конца XVII века наука так и не подошла к введению классического определения вероятности, а продолжала оперировать только с числом шансов, благоприятствующих тому или иному интересующему исследователей событию. Отдельные попытки, которые были отмечены у Кардано и у позднейших исследователей, не привели к ясному пониманию значения этого нововведения и остались инородным телом в завершенных работах. Однако, в тридцатых годах XVIII столетия классическое понятие вероятности стало общеупотребительным и никто из ученых этих лет не мог бы ограничиться только подсчетом числа благоприятствующих событию шансов. Введение классического определения вероятности произошло не в результате однократного действия, а заняло длительный промежуток времени, на протяжении которого происходило непрерывное совершенствование формулировки, переход от частных задач к общему случаю.
Внимательное изучение, показывает, что еще в книге X. Гюйгенса «О расчетах в азартных играх» (1657) нет понятия вероятности как числа, заключенного между 0 и 1 и равного отношению числа благоприятствующих событию шансов к числу всех возможных. А в трактате Я. Бернулли «Искусство предположений» (1713) понятие это введено, хотя и в далеко несовершенной форме, но, что особенно важно, широко используется.
А. Муавр воспринял классическое определение вероятности, данное Бернулли, и вероятность события определил почти в точности так, как это делаем мы теперь. Он писал: «Следовательно, мы строим дробь, числитель которой будет число случаев появления события, а знаменатель - число всех случаев, при которых оно может появиться или не появиться, такая дробь будет выражать действительную вероятность его появления».


3. Предмет теории вероятностей
Наблюдаемые нами события (явления) можно подразделить на следующие три вида: достоверные, невозможные и случайные.
Достоверным называют событие, которое обязательно произойдет, если будет осуществлена определенная совокупность условий S. Например, если в сосуде содержится вода при нормальном атмосферном давлении и температуре 20°, то событие «вода в сосуде находится в жидком состоянии» есть достоверное. В этом примере заданные атмосферное давление и температура воды составляют совокупность условий S.
Невозможным называют событие, которое заведомо не произойдет, если будет осуществлена совокупность условий S. Например, событие «вода в сосуде находится в твердом состоянии» заведомо не произойдет, если будет осуществлена совокупность условий предыдущего примера.
Случайным называют событие, которое при осуществлении совокупности условий S может либо произойти, либо не произойти. Например, если брошена монета, то она может упасть так, что сверху будет либо герб, либо надпись. Поэтому событие «при бросании монеты выпал «герб» - случайное. Каждое случайное событие, в частности выпадение «герба», есть следствие действия очень многих случайных причин (в нашем примере: сила, с которой брошена монета, форма монеты и многие другие). Невозможно учесть влияние на результат всех этих причин, поскольку число их очень велико и законы их действия неизвестны. Поэтому теория вероятностей не ставит перед собой задачу предсказать, произойдет единичное событие или нет, - она просто не в силах это сделать.
По-иному обстоит дело, если рассматриваются случайные события, которые могут многократно наблюдаться при осуществлении одних и тех же условий S, т. е. если речь идет о массовых однородных случайных событиях. Оказывается, что достаточно большое число однородных случайных событий независимо от их конкретной природы подчиняется определенным закономерностям, а именно вероятностным закономерностям. Установлением этих закономерностей и занимается теория вероятностей.
Итак, предметом теории вероятностей является изучение вероятностных закономерностей массовых однородных случайных событий.


4. Основные понятия теории вероятностей

Каждая наука, развивающая общую теорию какого-либо круга явлений, содержит ряд основных понятий, на которых она базируется. Такие основные понятия существуют и в теории вероятностей. В их качестве выступают: событие, вероятность события, частота события или статистическая вероятность и случайная величина.
Случайными событиями называются такие события, которые могут произойти или не произойти при осуществлении совокупности условий, связанных с возможностью появления данных событий.
Случайные события обозначают буквами A, B, C,... . Каждое осуществление рассматриваемой совокупности называется испытанием. Число испытаний может неограниченно возрастать. Отношения числа m наступлений данного случайного события A в данной серии испытаний к общему числу n испытаний этой серии называется частотой появления события A в данной серии испытаний (или просто частотой события А) и обозначается Р*(А). Таким образом, P*(A)=m/n.
Частота случайного события всегда заключена между нулем и единицей: 0 ? P*(A) ? 1.
Массовые случайные события обладают свойством устойчивости частоты: наблюдаемые в различных сериях однородных испытаний (с достаточно большим числом испытаний в каждой серии) значения частоты данного случайного события колеблются от серии к серии в довольно тесных пределах.
Именно это обстоятельство позволяет при изучении случайных событий применять математические методы, приписывая каждому массовому случайному событию его вероятность, за которую принимается то (вообще говоря заранее неизвестное) число, около которого колеблется наблюдаемая частота события.
Вероятность случайного события А обозначается через Р(А). Вероятность случайного события, как и его частота, заключена между нулем и единицей: 0 ? P(A) ? 1.
Случайная величина – это величина, характеризующая собой результат предпринятой операции и которая может принимать различные значения при различных операциях, какими бы однородными были условия их осуществления.

5. Применение теории вероятностей в современном мире
Начать по праву следует со статистической физики. Современное естествознание исходит из представления, согласно которому все явления природы носят статистический характер и законы могут получить точную формулировку только в терминах теории вероятностей. Статистическая физика стала основой всей современной физики, а теория вероятностей – ее математическим аппаратом. В статистической физике рассматриваются задачи, которые описывают явления, определяющиеся поведение большого числа частиц. Статистическая физика весьма успешно применяется в самых разных разделах физики. В молекулярной физике с ее помощью объясняют тепловые явления, в электромагнетизме – диэлектрические, проводящие и магнитные свойства тел, в оптике она позволила создать теорию теплового излучения, молекулярного рассеивания света. В последние годы круг приложений статистической физики продолжает расширяться.
Статистические представления позволили быстро оформить математическое изучение явлений ядерной физики. Появление радиофизики и изучение вопросов передачи радио сигналов не только усилили значение статистических концепций, но и привели к прогрессу самой математической науки – появлению теории информации.
Понимание природы химических реакций, динамического равновесия также невозможно без статистических представлений. Вся физическая химия, ее математический аппарат и предлагаемые ею модели являются статистическими.
Обработка результатов наблюдений, которые всегда сопровождаются и случайными ошибками наблюдений, и случайными для наблюдателя изменениями в условиях проведения эксперимента, еще в XIX столетии привела исследователей к созданию теории ошибок наблюдений, и эта теория полностью опирается на статистические представления.
Астрономия в ряде своих разделов использует статистический аппарат. Звездная астрономия, исследование распределения материи в пространстве, изучение потоков космических частиц, распределение на поверхности солнца солнечных пятен (центров солнечной активности) и многое другое нуждается в использовании статистических представлений.
Биологи заметили, что разброс размеров органов живых существ одного и того же вида прекрасно укладывается в общие теоретико-вероятностные законы. Знаменитые законы Менделя, положившие начало современной генетике, требуют вероятностно- статистических рассуждений. Изучение таких значительных проблем биологии, как передача возбуждения, устройство памяти, передача наследственных свойств, вопросы расселения животных на территории, взаимоотношения хищника и жертвы требует хорошего знания теории вероятностей и математической статистики.
Гуманитарные науки объединяют очень разнообразные по характеру дисциплины – от языкознания и литературы до психологии и экономики. Статистические методы все в более значительной мере начинают привлекаться к историческим исследованиям, особенно в археологии. Статистический подход используется для расшифровки надписей на языке древних народов. Идеи, руководившие Ж. Шампольоном при расшифровке др евнего иероглифического письма , являются в основе своей статистическими. Искусство шифрования и дешифровки основано на использовании статистических закономерностей языка. Другие направления связаны с изучением повторяемости слов и букв, распределения ударений в словах, вычислением информативности языка конкретных писателей и поэтом. Статистические методы используются для установления авторства и изобличения литературных подделок. Например, авторство М.А. Шолохова по роману «Тихий Дон» было установлено с привлечением вероятностно-статистических методов. Выявление частоты появления звуков языка в устной и письменной речи позволяет ставить вопрос об оптимальном кодировании букв данного языка для передачи информации. Частота использования букв определяет соотношение количества знаков в наборной типографской кассе. Расположение букв на каретке пишущей машины и на клавиатуре компьютера, определяется статистическим изучением частоты сочетаний букв в данном языке.
Многие проблемы педагогики и психологии также требуют привлечения вероятностно-статистического аппарата. Вопросы экономики не могут не интересовать общество, поскольку с ней связаны все аспекты ее развития. Без статистического анализа невозможно предвидеть изменение количества населения, его потребностей, характера занятости, изменения массового спроса, а без этого невозможно планировать хозяйственную деятельность.
Непосредственно связаны с вероятностно- статистическими методами вопросы проверки качества изделий. Зачастую изготовление изделия занимает несравненно меньше времени, чем проверка его качества. По этой причине нет возможности проверить качество каждого изделия. Поэтому приходится судить о качестве партии по сравнительно небольшой части выборки. Статистические методы используются и тогда, когда испытание качества изделий приводит к их порче или гибели.
Вопросы, связанные с сельским хозяйством, уже давно решаются с широким использованием статистических методов. Выведение новых пород животных, новых сортов растений, сравнение урожайности – вот далеко не полный список задач, решаемых статистическими методами.
Можно без преувеличения сказать, что статистическими методами сегодня пронизана вся наша жизнь. В известном сочинении поэта-материалиста Лукреция Кара «О природе вещей» имеется яркое и поэтическое описание явления броуновского движения пылинок:
«Вот посмотри: всякий раз, когда солнечный свет проникает
В наши жилища и мрак прорезает своими лучами,
Множества маленьких тел в пустоте, ты увидишь, мелькая,
Мечутся взад и вперед в лучистом сиянии света;
Будто бы в вечной борьбе они бьются в сраженьях и битвах.
В схватки бросаются вдруг по отрядам, не зная покоя.
Или сходясь, или врозь беспрерывно опять разлетаясь.
Можешь из этого ты уяснить себе, как неустанно
Первоначала вещей в пустоте необъятной мятутся.
Так о великих вещах помогают составить понятье
Малые вещи, пути намечая для из достиженья,
Кроме того, потому обратить тебе надо вниманье
На суматоху в телах, мелькающих в солнечном свете,
Что из нее познаешь ты материи также движенье»
Первая возможность экспериментального исследования соотношений между беспорядочным движением отдельных частиц и закономерным движением их больших совокупностей появилась, когда в 1827 году ботаник Р. Броун открыл явление, которое по его имени названо «броуновским движением». Броун наблюдал под микроскопом взвешенную в воде цветочную пыльцу. К своему удивлению он обнаружил, что взвешенные в воде частицы находятся в непрерывном беспорядочном движении, которое не удается прекратить при самом тщательном старании устранить какие либо внешние воздействия. Вскоре было обнаружено, что это общее свойство любых достаточно мелких частиц, взвешенных в жидкости. Броуновское движение – классический пример случайного процесса.


6. Вероятность и воздушный транспорт
В предыдущей главе мы рассмотрели применение теории вероятности и статистики в различных областях науки. В этой главе я бы хотела привести примеры применения теории вероятностей на воздушном транспорте.
Воздушный транспорт - понятие, включающее как собственно воздушные суда, так и необходимую для их эксплуатации инфраструктуру: аэропорты, диспетчерские и технические службы. Как известно, совершение полета –это результат совместной работы множества служб аэропорта, которые в своей деятельности используют различные области науки и практически во всех этих областях имеет место теория вероятности. Я бы хотела привести пример из области навигации, где теория вероятности также широко применяется.
В связи с развитием спутниковых систем навигации, посадки и связи были введены новые показатели надежности как целостность, непрерывность, и готовность системы. Все эти показатели надежности количественно выражаются через вероятность.
Целостность-степень доверия к информации, получаемой от радиотехнической системы и применяемое в дальнейшем воздушным судном. Вероятность целостности равна произведению вероятности отказа на вероятность необнаружения отказа и должна быть равна или меньше 10 -7 на час полета.
Непрерывность обслуживания – это способность полной системы выполнять свою функцию без прерывания режима работы при выполнении планируемой операции. Она должна быть не меньше 10 -4 .
Готовность-это способность системы выполнять свои функции к началу выполнения операции. Онам должна быть не меньше 0, 99.
Заключение
Вероятностные идеи стимулируют в наши дни развитие всего комплекса знаний, начиная от наук о не живой природе и кончая науками об обществе. Прогресс современного естествознания неотделим от использования и развития вероятностных идей и методов. В наше время трудно назвать какую-либо область исследований, где бы не применялись вероятностные методы.


Список литературы
1. Вентцель Е.С. Теория вероятностей: Учебник для вузов. М.: Высшая школа, 2006 г.;
2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учеб. пособие для вузов. М: Высшая школа, 1998 г.;
3. Гнеденко Б.В. Очерк по теории вероятностей. М.: Эдиториал УРСС, 2009 г.;
4. Майстров Л.Е. Развитие теории вероятностей. М.:Наука, 1980 г.;
5. Майстров Л.Е. Теория вероятностей. Исторический очерк. М.: Наука, 1967 г.
6. Соболев Е.В. Организация радиотехнического обеспечения полётов (часть 1). Санкт-Петербург, 2008 г.;
7. http://verojatnost. pavlovkashkola.edusite.ru/ p8aa1.html
8. http://shpora.net/index.cgi? act=view&id=4966

X республиканская научно-практическая конференция

«Рождественские чтения»

Секция: математика

Исследовательская работа

Случайность или закономерность?

Теория вероятности в жизни

Гатауллина Лилия,

школа№66, 8 Б класс

Московский район, город Казань

Научный руководитель: учитель математики 1кв. кат Магсумова Э.Н

Казань 2011

Введение…………………………………………………………………………………………………3

Глава 1.Теория вероятности – что это?……………………………………………….5

Глава 2. Эксперименты…………………………………………………………7

Глава 3. Можно ли выиграть в лотерею или рулетку? ………………………..9

Заключение ……………………………………………………………………………………………11

Список литературы…………………………………………………………………………………12

Приложение

Введение

Людей всегда интересовало будущее. Человечество во все врем ена искало способ его предугадать, или спланировать. В разное время разными способами. В современном мире есть теория, которую наука признает и пользуется для планирования и прогнозирования будущего. Речь о теории вероятностей.

В жизни мы часто сталкиваемся со случайными явлениями. Чем обусловлена их случайность – нашим незнанием истинных причин происходящего или случайность лежит в основе многих явлений? Споры на эту тему не утихают в самых разных областях науки. Случайным ли образом возникают мутации, насколько зависит историческое развитие от отдельной личности, можно ли считать Вселенную случайным отклонением от законов сохранения? Пуанкаре, призывая разграничить случайность, связанную с неустойчивостью, от случайности, связанной с нашим незнанием, приводил следующий вопрос: «Почему люди находят совершенно естественным молиться о дожде, в то время как они сочли бы смешным просить в молитве о затмении?»

У каждого ‘случайного’ события есть четкая вероятность его наступления. Например, посмотрите официальную статистику пожаров в России. (см. приложение №1) Вас ничего не удивляет? Данные из года в год стабильные. За 7 лет разброс от 14 до 19 тысяч погибших.Задумайтесь, пожар - событие случайное. Но можно с большой точностью предсказать сколько погибнет людей в пожаре в следующем году (~ 14-19 тысяч).

В стабильной системе вероятность наступления событий сохраняется из год в год. То есть, с точки зрения человека с ним произошло случайное событие. А с точки зрения системы, оно было предопределенно.

Разумный человек должен стремиться мыслить, исходя из законов вероятностей (статистики). Но в жизни о вероятности мало кто думает. Решения принимаются эмоционально.

Люди боятся летать самолетами. А между тем, самое опасное в полете на самолете - это дорога в аэропорт на автомобиле. Но попробуй кому-то объяснить, что машина опасней самолета. Вероятность того, что пассажир, севший в самолет погибнет в авиакатастрофе составляет примерно

1/8 000 000. Если пассажир будет садиться каждый день на случайный рейс, ему понадобится 21 000 лет чтобы погибнуть.(см.приложение №2)

По исследованиям: в США в первые 3 месяца после терактов 11 сентября 2001 года погибло еще одна тысяч людей… косвенно. Они в страхе перестали летать самолетами и начали передвигаться по стране на автомобилях. А так как это опасней, то количество смертей возросло.

По телевидению пугают: птичьим и свиными гриппами, терроризмом…, но вероятность этих событий ничтожна по сравнению с настоящими угрозами. Опасней переходить дорогу по зебре, чем лететь на самолете. От падения кокосов погибает ~ 150 человек в год. Это в десятки раз больше, чем от укуса акул. Но фильма “Кокос-убийца” пока не снято. Подсчитано, что шанс человека быть подвергнутым нападению акулы составляет 1 к 11,5 млн, а шанс погибнуть от такого нападения 1 к 264,1 млн. Среднегодовое количество утонувших в США составляет 3306 человек, а погибших от акул 1. Миром правит вероятность и нужно помнить об этом. Они помогут вам взглянуть на мир с точки зрения случая. (см. приложение №3)

В своей исследовательской работе я попробую проверить, действительно ли теория вероятности действует и как её можно применить в жизни.

Вероятность события в жизни не так уж часто считается по формулам, скорее интуитивно. Но проверить совпадает ли «эмпирический анализ» с математическим, иногда очень полезно.

Гл ава 1 . Теория вероятности – что это?

Теория вероятностей или теория вероятности – это один из разделов Высшей Математики. Это самый интересный раздел Науки Высшая Математика Теория вероятности, которая являясь сложной дисциплиной, имеет применение в реальной жизни. Теория вероятностей представляет несомненную ценность для общего образования. Эта наука позволяет не только получать знания, которые помогают понимать закономерности окружающего мира, но и находить практическое применение теории вероятности в повседневной жизни. Так, каждому из нас каждый день приходиться принимать множество решений в условиях неопределенности. Однако эту неопределенность можно «превратить» в некоторую определенность. И тогда это знание может оказать существенную помощь при принятии решения. Изучение теории вероятностей требует больших усилий и терпения.

Теперь же давайте перейдем к самой теории и истории ее возникновения. Главным понятием теории вероятностей является вероятность. Это слово «вероятность», синонимом которого является, например, слово «шанс» достаточно часто применяется в повседневной жизни. Думаю, каждому знакомы фразы: «Завтра, вероятно, выпадет снег», или «вероятнее всего в выходные я поеду на природу», или «это просто невероятно», или «есть шанс получить зачет автоматом». Такого рода фразы на интуитивном уровне оценивают вероятность того, что произойдет некоторое случайное событие. В свою очередь математическая вероятность дает некоторую числовую оценки вероятности того, что произойдет некоторое случайное событие.

Теория вероятностей оформилась в самостоятельную науку относительно не давно, хотя история теории вероятностей началась еще в античности. Так, Лукреций, Демокрит, Кар и еще некоторые ученые древней Греции в своих рассуждениях говорили о равновероятностных исходах такого события, как возможность того, что вся материя состоит из молекул. Таким образом, понятие вероятности использовалось на интуитивном уровне, но оно не было выделено в новую категорию. Тем не менее, античные ученые заложили прекрасный фундамент для возникновения этого научного понятия. В средние века, можно сказать, и зародилась теория вероятности, когда были приняты первые попытки математического анализа, таких азартных игр как кости, орлянка, рулетка.

Первые научные работы по теории вероятностей появились в 17 веке. Когда такие ученые как Блез Паскаль и Пьер Ферма открыли некоторые закономерности, которые возникают при бросании костей. В ту же пору к данному вопросу проявлял интерес еще один ученый Христиан Гюйгенс. Он в 1657 в своей работе ввел следующие понятия теории вероятностей: понятие вероятности как величины шанса или возможности; математическое ожидание для дискретных случаев, в виде цены шанса, а также теоремы сложения и умножения вероятностей, которые правда не были сформулированы в явном виде. Тогда же теория вероятностей стала находить сферы своего применения – демографию, страховое дело, оценку ошибок наблюдений.

Дальнейшее развитие теории вероятностей привело к необходимости аксиоматизации теории вероятностей и главного понятия – вероятности. Так становление аксиоматики теории вероятностей произошло в 30 гг 20 века. Самый существенный вклад в заложение основ теории внес Космогоров А.Н.

На сегодняшний день теории вероятностей это самостоятельная наука, имеющая огромную сферу применения. В данном разделе сайта Вы найдете шпаргалки по теории вероятности, лекции и задачи по теории вероятностей, литературу, а также много интересных статей о применении теории вероятностей в жизни.

Глава 2 . Эксперимент ы

Я решила проверить классическое определение вероятности.

Определение: Пусть множество исходов опыта состоит из n равновероятных исходов. Если m из них благоприятствуют событию A, то вероятностью события A называется число Р(А) = m/n.

Возьмем, к примеру, игру в монету. При бросании может быть два равновероятных исхода: монета может упасть кверху гербом или решкой. Бросая монету один раз нельзя предугадать, какая сторона окажется сверху. Однако, бросив монету 100 раз, можно сделать выводы. Можно заранее сказать, что герб выпадет не 1 и не 2 раза, а больше, но и не 99 и не 98 раз, а меньше. Число выпадений герба будет близко к 50. На самом деле, и на опыте можно в этом убедиться, что это число будет заключено между 40 и 60. Кто и когда впервые проделал опыт с монетой, неизвестно.

Французский естествоиспытатель Бюффон (1707-1788) в восемнадцатом столетии 4040 раз подбрасывал монету-герб выпал 2048 раз. Математик К.Пирсон в начале в начале нынешнего столетия подбрасывал ее 24 000 раз-герб выпал 12012 раз. Лет 20 назад американские экспериментаторы повторили опыт. При 10 000 подбрасываний герб выпал 4979 раз. Значит, результаты бросаний монеты, хотя каждое из них и является случайным событием, при неоднократном повторении подвластны объективному закону.

Проведём опыт. Для начала, возьмем в руки монетку, будем ее бросать и записывать результат последовательно в виде строки: О, Р, Р, О, О, Р. Здесь буквами О и Р обозначено выпадение орла или решки. В нашем случае бросание монетки – это испытание, а выпадение орла или решки – событие, то есть возможный исход нашего испытания. Результаты эксперимента представлен в приложении № 4. Проведя 100 испытаний орел выпал – 55, решка – 45.Вероятность выпадения орла в данном случае-0,55; решки – 0,45. Таким образом, я показала, что теория вероятности в данном случае имеет место быть.

Рассмотрим задачу с тремя дверьми и призами за ней: «Автомобиль или козлы»? или «парадокс Монти Холла». Условия задачи таковы:

Вы участвуете в игре. Ведущий предлагает выбрать одну из трех дверей и рассказывает о том, что за одной из дверей находится выигрыш – автомобиль, за двумя другими дверями спрятаны козы. После того, как Вы остановили свой выбор на одной из дверей, ведущий, который знает что находится за каждой дверью, открывает одну из оставшихся двух дверей и демонстрирует, что за ней находится козел (коза, пол животного в этом случае на так уж важен) А потом ведущий хитро так спрашивает: «Желаете ли Вы изменить свой выбор двери?» Увеличит ли изменение выбора шансы на выигрыш?

Если подумать: вот две закрытые двери, одну Вы уже выбрали и вероятность что за выбранной дверью автомобиль/коза 50% как и с подбрасыванием монетки. Но это совсем не так. Если поменять свое решение и выбрать другую дверь, то шансы выигрыша увеличатся в 2 раза! Опыт подтвердил данное утверждение (см. приложение №5). Т.е. оставив свой выбор, игрок получит автомобиль в одном из трех случаев, а поменяв двух из трех. Статистика телепередачи подтверждает, что те, кто менял свой выбор, выигрывали в два раза чаще.

Это все теория вероятности и она верна на «множестве вариантов». Надеюсь, что этот пример заставит вас задуматься, как быстро взять в руки книгу о теории вероятностей, а также начать ее применять в своей работе. Поверьте, это интересно и увлекательно, да и практический толк есть.

Глава 3 . Можно ли выиграть в лотерею или рулетку?

Каждый из нас хоть раз в жизни покупал лотерею или играл в азартные игры, но далеко не все использовали заранее спланированную стратегию. Умные игроки давно перестали надеяться на удачу и включили рациональное мышление. Дело в том, что каждое событие имеет определенное математическое ожидание, как гласит высшая математика и теория вероятности, и, если правильно оценивать ситуацию, то можно обойти неудовлетворительный исход события.

К примеру, в любой игре, такой, как рулетка, есть возможность играть с вероятностью на выигрыш 50%, ставя на выпадение четного числа, или красной ячейки. Вот как раз эту игру мы и рассмотрим.

Для обеспечения прибыли, составим несложную стратегию игры. К примеру, мы имеем возможность посчитать, с какой вероятностью выпадет четное число 10 раз подряд – 0,5*0,5 и так 10 раз. Умножаем на 100% и получаем всего 0,097%, или же, примерно, 1 шанс из 1 000. Столько игр, пожалуй, сыграть вам не удастся и за всю свою жизнь, значит, вероятность выпадения 10 четных чисел подряд практически равна «0». Воспользуемся этой тактикой игры на практике. Но это еще не все, даже 1 раз из 1 000 – это для нас много, так что сократим это число до 1 из 10 000. Вы спросите, каким образом это можно сделать, не увеличивая заранее предполагаемое количество выпадения четных чисел подряд? Ответ прост – время.

Подходим к рулетке и ждем пока выпадет 2 раза подряд четное число. Это будет каждый раз из четырех расчетных случаев. Теперь ставим минимальную ставку на четное число, к примеру 5р, и выигрываем по 5р за каждое выпадение четного числа, вероятность которого 50%. Если же выпало нечетное, то увеличиваем следующую ставку в 2 раза, то есть ставим уже 10р. В этом случае вероятность проиграть будет равна 6%. Но не паникуйте, если даже в этот раз вы проиграете! Делайте повышение каждый раз в два раза больше. С каждым разом математическое ожидание на выигрыш увеличивается, и Вы в любом случае останетесь в прибыли.

Важно учесть тот факт, что эта стратегия подходит только для малых ставок, так как, изначально поставив большие деньги – Вы рискуете проиграть все из-за ограничений ставок в будущем. Если у Вас возникли сомнения по данной тактике, сыграйте с другом в угадывание стороны монеты на вымышленные деньги, ставя при проигрыше ставку в два раза больше. Через время Вы убедитесь, что эта методика проста на практике и очень эффективна! Можно сделать вывод, что играя по данной стратегии, Вы не заработаете миллионы, а лишь выиграете себе на мелкие расходы.

Заключение

Изучая тему «теории вероятности в жизни», я поняла, что это огромный раздел науки математики. И изучить его в один заход невозможно.

Перебрав множество фактов из жизни, и проведя эксперименты в домашних условиях, я поняла, что действительно теория вероятности в жизни имеет место быть. Вероятность события в жизни не так уж часто считается по формулам, скорее интуитивно. Но проверить совпадает ли «эмпирический анализ» с математическим, иногда очень полезно.

Можем ли мы предугадать с помощью этой теории, что случится с нами через день, два, тысячу? Конечно нет. Событий связанных с нами в каждый момент времени очень много. Только на одну лишь типизацию этих событий не хватит и жизни. А уж их совмещение - и вовсе гиблое дело. С помощью этой теории предугадывать можно лишь однотипные события. Например, такое как бросание монеты - это событие из 2 вероятностных результатов. В общем, прикладное применение теории вероятностей связанно с немалым количеством условий и ограничений. Для сложных процессов сопряжено с вычислениями, которые под силу лишь компьютеру.

Но следует помнить, что в жизни есть ещё такое понятие как удача, везение. Это то, что мы говорим – повезло, когда например какой-нибудь человек не учился никогда, никуда не стремился, лежал на диване, играл в компьютер, а через 5 лет мы видим как у него берут интервью на MTV. У него была вероятность 0.001 стать музыкантом, она выпала, ему повезло, такое схождение обстоятельств. То, что мы называем – оказался в нужном месте и в нужное время, когда срабатывают те самые 0.001.

Таким образом, работаем над собой, принимаем решения, которые могут повысить вероятность выполнения наших желаний и стремлений, каждый случай может добавить те заветные 0.00001, которые сыграют решающую роль в итоге.

Список литературы

Удивительное дело, но мы чаще действуем полагаясь на интуицию, чем на здравый смысл и расчет. К сожалению, это касается не только личной жизни, но и работы. Помните старую историю о том, стоит ли Биллу Гейтсу подбирать бумажку в сто долларов из под ног? Шутники рассчитывали сколько зарабатывает Гейтс в минуту и утверждали, что поднимая бумажку он тратит свое время неэффективно.

Как вы считаете, стоило ему поднимать эти деньги? Не спешите с ответом. Пусть Гейтс зарабатывает в минуту 64 тысячи долларов. Это условное число. Нужно ли поднять бумажку в сто долларов? Подумайте.

И тут мы получаем, ловушку, которая заложена изначально в самой постановке вопроса. Гейтс не затрачивает свое личное время для того, чтобы приумножать состояние, это делают деньги на банковских счетах. Поэтому нагнувшись, Билл получит дополнительные сто долларов и это выигрышная ситуация для него. Чувствуете разницу в постановке вопроса? Я не беру в рассмотрение то, что эмоционально как и любой человек, он обрадуется тому, что нашел такую купюру. И это будет связано с тем, что найти сто долларов редкая удача и мало кто может похвастаться этим. Вы находили сто долларов? Только отвечайте честно. Если да, то что ощущали? Вероятность такого события крайне мала, отсюда высокая эмоциональная окраска.

Об автобусе и горилле на поле, шоу на ТВ и открытие двери с гоночным автомобилем, который можно забрать домой. Теория вероятностей в действии.

В нашей работе часты ситуации, когда надо принимать решение и мы сталкиваемся с двумя типами проблем. Недостаток информации. А также неверная интерпретация исходных условий, невнимательность к деталям. Второй тип проблем можно исправить тщательностью в подготовке. Давайте немного остановимся на таких проблемах.

Проблема №1. Неверная интерпретация исходных условий

В институте мы проводили математический тест на способность считать в уме. Вы можете потренироваться в нем, с вашими друзьями и знакомыми, он отнимет, буквально, несколько минут.

Задача звучит так. Вы говорите вашему собеседнику, чтобы он внимательно считал, так как тест связан с математикой. И начинаете говорить, что на конечной остановке автобуса в нем никого не было. Потом в него село 5 человек. На следующей остановке вышло 3 человека, а вошло 14. Следующая остановка минус 3, плюс 11. Потом еще одна остановка -4, +6. И так далее. И снова конечная остановка.

Как правило, начинают считать количество людей, просят вас повторять сколько человек вышло, сколько осталось. Но ваш вопрос звучит иначе, - «Сколько остановок проехал автобус?». Правильно на этот вопрос отвечают единицы, так как изначально ожидают типичного действия, а именно расчетов, так как тест на математику и вы об этом упоминали. Это типичный тест показывающий, что человек не уточняет исходные условия, не обращает внимания на детали и действует сообразно своему понимаю теста. Которое, как мы видим, оказывается неверным.

Когда будете проводить тест, не называйте никак остановки, это облегчает последующий подсчет, а также портит тест. Количество остановок должно быть довольно большим (более 10), а также вам стоит считать, чтобы не ошибиться с количество тех, кто вышел и зашел.

Другой вариант теста, стал уже классикой жанра, это горилла на баскетбольном поле. Испытуемых просят посчитать сколько пассов мяча делают игроки, в середине игры сквозь играющих проходит человек в костюме гориллы. Примерно половина тех, кто считал пасы, просто не замечает его. Они сосредоточились на другой задаче. И это особенность нашей психологии. Ниже пример видео из классического исследования.

В качестве вывода могу сказать следующее, очень важно правильно и тщательно оценить исходные условия. Что делать, а главное зачем. И уже потом действовать, но тут мы переходим к оценки вероятностей или пункту №2.

Проблема №2. Как сделать правильный выбор

У вас куча предложений о заключении новых договоров, вы не способны принять каждое из них. Какие-то выглядят интереснее, какие-то не так хороши. Встает в полный рост ситуация выбора в которой большинство из нас полагается на интуицию, но не здравый смысл и расчет. Вспомнить ситуации выбора из рабочих будней для каждого из нас не составит труда. Но как мы выбираем? Я полагаюсь в таких ситуациях на теорию вероятностей, которая и помогает принять окончательное решение. К сожалению, во многих высших учебных заведениях не преподают теорию вероятностей, либо делают это настолько плохо, что отбивают всякую охоту знать этот предмет. Однако теория вероятностей работает и помогает принимать решения. Позвольте заинтересовать вас этой теорией и побудить прочитать больше, только одним примером, который стал классическим.

Задача Монти Холла

В телевикторине участники должны выбрать одну из трех дверей. За одной дверью находится машина, за двумя другими нет ничего. Участник, выбирает дверь, а ведущий, которому известно, что находится за каждой из дверей, открывает одну из оставшихся, конечно пустышку. Затем он говорит участнику, - «Вы смените дверь или выберете другую?». Вопрос, который мы рассмотрим в том, выгодно ли участнику сменить дверь или выгодно оставить свой выбор.

В 1990 году этот вопрос разделил Америку на два лагеря. С одной стороны была Мэрилин вос Савант, вошедшая в «книгу рекордов Гиннесса»как человек с самым высоким уровнем интеллекта равным 228. С другой стороны математики и читатели воскресной газеты, в которой Мэрилин высказала свою точку зрения на вопрос, менять или нет, дверь. Она получила несколько десятков тысяч отзывов, из которых более сотни были написаны дипломированными математиками, докторами наук. 92 процента написавших считали, что Мэрилин ошибается. Сделали свой выбор? Честно запишите его на бумажке, а потом поделитесь в комментариях, что вы выбрали. Заранее спасибо, за вашу честность.

Негодование большинства вызвала стратегия предложенная Мэрилин. Она предложила сменить дверь. Не оставить, а именно сменить, так как это повышает шансы на выигрыш.

Ответ на задачу Монти Холла
В задаче Монти Холла фигурирует три двери: за одной нечто ценное, скажем гоночная машина, за двумя другими - нечто гораздо менее интересное, например, русско-русский разговорник. Вы выбрали дверь №1. В таком случае пространство элементарных событий представлено следующими тремя возможными исходами:

Машина за дверью №1
Машина за дверью №2
Машина за дверью №3

Вероятность каждого исхода - 1 из 3. Поскольку предполагается, что большинство выберет машину, то первый исход будем считать выигрышным, а шансы угадать равны 1 из 3.

Далее по сценарию, ведущий, заведомо знающий, что находится за каждой из дверей, открывает одну дверь из не выбранных вами, и оказывается, что там лежит разговорник. Поскольку, открывая эту дверь ведущий использовал свое знание о предметах за дверями, чтобы не раскрыть местоположение машины, данный процесс нельзя назвать случайным в полном смысле этого слова. Существуют два варианта, которые стоит обдумать.

Первый - вы изначально делаете правильный выбор. Назовем такой случай «счастливой догадкой». Ведущий наугад откроет либо дверь 2, либо дверь 3, и если вы предпочтете сменить свою дверь, вместо шикарной, с ветерком поездки станете владельцем разговорника. В случае «счастливой догадки» лучше, конечно, не соблазняться предложением сменить дверь, однако вероятность выпадения «счастливой догадки» равна всего 1 из 3.

Второй - вы сразу же указываете не на ту дверь. Назовем такой случай «ошибочной догадкой». Шансы, что вы не угадаете, равны 2 из 3, так что «ошибочная догадка» в два раза вероятнее, чем «счастливая догадка». Как «ошибочная догадка» отличается от «счастливой догадки»? При «ошибочной догадке» машина находится за одной из тех дверей, которые вы обошли своим вниманием, а за другой - книжка. В противоположность «счастливой догадке» в этом варианте ведущий открывает невыбранную дверь не наугад. Поскольку он не собирается открывать дверь с машиной, он именно что выбирает ту самую дверь, за которой машины нет. Другими словами, в «ошибочной догадке» ведущий вмешивается в то, что до той поры называлось случайным процессом. Таким образом, процесс уже не может считаться случайным: ведущий пользуется своими знаниями, чтобы повлиять на результат, и тем самым отрицает само понятие случайности, гарантируя, что при смене двери участник получит авто. Из-за подобного вмешательства происходит следующее: вы оказываетесь в ситуации «ошибочной догадки», и, следовательно, выигрываете
при смене двери и проигрываете, если отказываетесь сменить ее.

В итоге получается: если вы оказываетесь в ситуации «счастливой догадки» (вероятность которой 1 из 3), вы выигрываете при условии, если остаетесь при своем выборе. Если вы оказываетесь в ситуации «ошибочной догадки» (вероятность 2 из 3), то под влиянием действий ведущего вы выигрываете при условии, если меняете первоначальный выбор. Итак, ваше решение, сводится к догадке, в какой ситуации вы окажетесь? Если вы чувствуете, что вашим изначальным выбором руководит шестое чувство, что вас направляет сама судьба, может, и не стоит менять свое решение. Но если вам не дано завязывать ложки узелками только силой мысли, то наверняка шансы того, что вы попали в ситуацию «ошибочной догадки», равны 2 к 1, так что лучше сменить дверь.

Статистика телепередачи подтверждает, что те, кто менял свой выбор, выигрывали в два раза чаще. Вуаля.

Надеюсь, что этот пример заставит вас задуматься, как быстро взять в руки книгу о теории вероятностей, а также начать ее применять в своей работе. Поверьте, это интересно и увлекательно, да и практический толк есть. Надеюсь пятничные размышления о психологии, предпосылках задач и теории вероятностей, не заставили вас скучать.

P.S. Описание задачи Монти Холла взял из книги «Несовершенная случайность» Леонарда Млодинова. Рекомендую ее к прочтению, это научпоп.