Построение с помощью циркуля и линейки. Из истории геометрического построения циркулем и линейкой

Построения с помощью циркуля и линейки - раздел евклидовой геометрии, известный с античных времён. задачах на построение циркуль и линейка считаются идеальными инструментами, в частности:

Линейка не имеет делений и имеет сторону бесконечной длины, но только одну.
Циркуль может иметь какой угодно большой или малый раствор (то есть может чертить окружность произвольного радиуса).

1 Пример
2 Формальное определение
3 Известные задачи
- 3.1 Построение правильных многоугольников
- 3.2 Неразрешимые задачи
4 Возможные и невозможные построения
5 Вариации и обобщения
6 Интересные факты
7 См. также
8 Примечания
9 Литература

Пример

Разбиение отрезка пополам

Задача на бисекцию . С помощью циркуля и линейки разбить данный отрезок AB на две равные части. Одно из решений показано на рисунке:

Циркулем проводим окружности с центром в точках A и B радиусом AB.
Находим точки пересечения P и Q двух построенных окружностей (дуг).
По линейке проводим отрезок или линию, проходящую через точки P и Q.
Находим искомую середину отрезка AB - точку пересечения AB и PQ.

Формальное определение

В задачах на построение рассматриваются множество всех точек плоскости, множество всех прямых плоскости и множество всех окружностей плоскости, над которыми допускаются следующие операции:

Выделить точку из множества всех точек:
1. произвольную точку
2. произвольную точку на заданной прямой
3. произвольную точку на заданной окружности
4. точку пересечения двух заданных прямых
5. точки пересечения/касания заданной прямой и заданной окружности
6. точки пересечения/касания двух заданных окружностей
«С помощью линейки » выделить прямую из множества всех прямых:
1. произвольную прямую
2. произвольную прямую, проходящую через заданную точку
3. прямую, проходящую через две заданных точки
«С помощью циркуля » выделить окружность из множества всех окружностей:
1. произвольную окружность
2. произвольную окружность с центром в заданной точке
3. произвольную окружность с радиусом, равным расстоянию между двумя заданными точками
4. окружность с центром в заданной точке и с радиусом, равным расстоянию между двумя заданными точками

В условиях задачи задается некоторое множество точек. Требуется с помощью конечного количества операций из числа перечисленных выше допустимых операций построить другое множество точек, находящееся в заданном соотношении с исходным множеством.

Решение задачи на построение содержит в себе три существенные части:

Описание способа построения заданного множества.
Доказательство того, что множество, построенное описанным способом, действительно находится в заданном соотношении с исходным множеством. Обычно доказательство построения производится как обычное доказательство теоремы, опирающееся на аксиомы и другие доказанные теоремы.
Анализ описанного способа построения на предмет его применимости к разным вариантам начальных условий, а также на предмет единственности или неединственности решения, получаемого описанным способом.

Известные задачи

Задача Аполлония о построении окружности, касающейся трех заданных окружностей. Если ни одна из заданных окружностей не лежит внутри другой, то эта задача имеет 8 существенно различных решений.
Задача Брахмагупты о построении вписанного четырехугольника по четырем его сторонам.

Построение правильных многоугольников

Основная статья: Теорема Гаусса - Ванцеля Построение правильного пятиугольника

Античным геометрам были известны способы построения правильных n-угольников для, и.

В 1796 году Гаусс показал возможность построения правильных n-угольников при, где - различные простые числа Ферма. 1836 году Ванцель доказал, что других правильных многоугольников, которые можно построить циркулем и линейкой, не существует.

Неразрешимые задачи

Следующие три задачи на построение были поставлены ещё в античности:

Трисекция угла - разбить произвольный угол на три равные части.
Удвоение куба - построить ребро куба вдвое большего по объёму, чем данный куб
Квадратура круга - построить квадрат, равный по площади данному кругу.

Лишь в XIX веке было доказано, что все три задачи неразрешимы при использовании только циркуля и линейки. Вопрос возможности построения полностью решён алгебраическими методами, основанными на теории Галуа.

Другая известная неразрешимая с помощью циркуля и линейки задача - построение треугольника по трём заданным длинам биссектрис. Причём эта задача остаётся неразрешимой даже при наличии трисектора.

Возможные и невозможные построения

Каждое построение на самом деле является решением какого-либо уравнения, причем коэффициенты этого уравнения связаны с длинами заданных отрезков. Поэтому удобно говорить о построении числа - графического решения уравнения определенного типа. рамках вышеописанных требований возможны следующие построения:

Построение решений линейных уравнений.
Построение решений квадратных уравнений.

Иначе говоря, возможно построить лишь числа равные арифметическим выражениям с использованием квадратного корня из исходных чисел (длин отрезков). Например,

Если задан только отрезок длины, то невозможно представить в таком виде (отсюда невозможность удвоения куба).
Возможность построить правильный 17-угольник следует из выражения на косинус угла:

Вариации и обобщения

Построения с помощью одного циркуля. По теореме Мора - Маскерони с помощью одного циркуля можно построить любую фигуру, которую можно построить циркулем и линейкой. При этом прямая считается построенной, если на ней заданы две точки.
Построения с помощью одной линейки. Легко заметить, что с помощью одной линейки можно проводить только проективно-инвариантные построения. частности,
- невозможно даже разбить отрезок на две равные части,
- также невозможно найти центр данной окружности.

Однако

- при наличии на плоскости заранее проведённой окружности с отмеченным центром с одной линейкой можно провести те же построения, что и циркулем и линейкой (Теорема Штейнера - Понселе).
- Если на линейке есть две засечки, то построения с помощью неё эквивалентны построениям с помощью циркуля и линейки (важный шаг в доказательстве этого сделал Наполеон).
Построения с помощью инструментов с ограниченными возможностями. задачах такого рода инструменты (в противоположность классической постановке задачи) считаются не идеальными, а ограниченными: прямую через две точки с помощью линейки можно провести только при условии, что расстояние между этими точками не превышает некоторой величины; радиус окружностей, проводимых с помощью циркуля, может быть ограничен сверху, снизу или одновременно и сверху, и снизу.
Построения с помощью плоского оригами. см. правила Худзита

Узор на флаге Ирана описывается как построение с помощью циркуля и линейки.

См. также

Программы динамической геометрии позволяют выполнять построения с помощью циркуля и линейки на компьютере.

Примечания

Кто и когда доказал невозможность построения треугольника по трем биссектрисам?. Дистанционный консультационный пункт по математике МЦНМО.
Можно ли построить треугольник по трем биссектрисам, если кроме циркуля и линейки разрешается использовать трисектор. Дистанционный консультационный пункт по математике МЦНМО.
Стандарт флага Ирана (перс.)

Литература

А. Адлер. Теория геометрических построений / Перевод с немецкого Г. М. Фихтенгольца. - Издание третье. - Л.: Учпедгиз, 1940. - 232 с.
И. И. Александров. Сборник геометрических задач на построение. - Издание восемнадцатое. - М.: Учпедгиз, 1950. - 176 с.
Б. И. Аргунов, М. Б. Балк. Геометрические построения на плоскости. Пособие для студентов педагогических институтов. - Издание второе. - М.: Учпедгиз, 1957. - 268 с.
А. М. Воронец. Геометрия циркуля. - М.-Л.: ОНТИ, 1934. - 40 с. - (Популярная библиотека по математике под общей редакцией Л. А. Люстерника).
В. А. Гейлер Неразрешимые задачи на построение // СОЖ. - 1999. - № 12. - С. 115-118.
В. А. Кириченко Построения циркулем и линейкой и теория Галуа // Летняя школа «Современная математика». - Дубна, 2005.
Ю. И. Манин. Книга IV. Геометрия // Энциклопедия элементарной математики. - М.: Физматгиз, 1963. - 568 с.
Ю. Петерсен. Методы и теории решения геометрических задач на построение. - М.: Типография Э. Лисснера и Ю. Романа, 1892. - 114 с.
В. В. Прасолов. Три классические задачи на построение. Удвоение куба, трисекция угла, квадратура круга. - М.: Наука, 1992. - 80 с. - (Популярные лекции по математике).
Я. Штейнер. Геометрические построения, выполняемые с помощью прямой линии и неподвижного круга. - М.: Учпедгиз, 1939. - 80 с.
Факультативный курс по математике. 7-9 / Сост. И. Л. Никольская. - М.: Просвещение, 1991. - С. 80. - 383 с. - ISBN 5-09-001287-3.

Построение с помощью циркуля и линейки Информацию О

2. Разделим её на некоторое число равных дуг, в нашем случае 8. Для этого проведем радиусы так, чтобы получилось 8 дуг, и угол между двумя ближайшими радиусами был равен
:
количество сторон (в нашем случае 8.
Получаем точки А1, А2
, A3, A4, A5, A6, A7, A8.

А2
А1
А8
А7
А6
А5
А4
А3
n-
угольника
3. Соединим центры окружности и одну из точек их пересечения

Мы получаем правильный треугольник

1
. Построим 2 окружности проходящие через центр друг друга.

2
. Соединим центры прямой, получив одну из сторон пятиугольника.

3. Соединим точки пересечения окружностей.

5 . Соединяем точки пересечения всех прямых с исходной окружностью.

Мы получаем правильный шестиугольник
Доказательство существования правильного
n-
угольника
Если
n
(число углов многоугольника) больше 2, то такой многоугольник существует.
Пробуем построить 8ми угольник и докажем это.
1. Возьмем окружность произвольного радиуса с центром в точке « О »

Построение треугольника при помощи циркуля и линейки
«
O
» .

2. Построим еще одну окружность того же радиуса проходящая через точку «О».

4. Соединим точки, лежащие на окружности.

Получаем правильный восьмиугольник.
Построение правильных многоугольников с помощью циркуля и линейки.

В 1796 году одним из величайших математиков всех времён Карл Фридрих Гаусс показал возможность построения правильных
n-
угольников, если равенство
n =
+ 1
, где
n –
количество углов, а
k
– любое натуральное число
.
Тем самым получилось, что в пределах 30 возможно деление окружности на 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, 30, равных частей
.
В 1836 году
Ванцель
доказал, что правильные многоугольники, не удовлетворяющие данному равенству при помощи линейки и циркуля построить нельзя.

Построение правильного шестиугольника при помощи циркуля и линейки.

4. Проведем прямые через центр начальной окружности и точки пересечения дуги с этой окружностью

ЛИТЕРАТУРА
Атанасян
Л. С. и др. Геометрия: Учебник для 7-9 классов образовательных учреждений. – М: «Просвещение». 1998.
Б. И. Аргунов, М. Б.
Балк
. Геометрические построения на плоскости, Пособие для студентов педагогических институтов. Издание второе. М.,
Учпедгиз
, 1957 – 268 с.
И. Ф.
Шарыгин
, Л. Н.
Ерганжиева
. «Наглядная геометрия».
Еще
одним
великим математиком изучавшим правильные многоугольники был
Евклид
или
Эвклид
(др. греч.
Εὐκλείδης
, от «добрая слава»
ок
. 300 г. до н. э.)
–
автор первого из дошедших до нас теоретических трактатов по математике
.
Его главная работа «Начала» содержит изложение планиметрии, стереометрии и ряды вопросов теории чисел
;
в ней он подвёл итог дальнейшего развития математики. В
IV
книге он описал построение правильных многоугольников при
n
равном
3
, 4, 5, 6, 15

и определил первый критерий построения многоугольников.
Построение правильного восьмиугольника.
1. Построим восьмиугольник при помощи четырехугольника.
2. Соединим противоположные вершины четырёхугольника
3. Проведем биссектрисы углов образованных пересекающимися диагоналями

Треугольники
, сторонами которых являются ближайшие радиусы и
стороны получившегося восьмиугольника равны по двум сторонам и углу между ними, соответственно стороны восьмиугольника равны и он является правильным. Данное доказательство применимо не только к восьмиугольникам
,
но и к многоугольникам с количеством углов
больше 2-х
. Что и требовалось доказать
.
Доказательство существования правильного
n-
угольника

А2
А1
А8
А7
А6
А5
А4
А3

4 . Проводим прямые через точки пересечения окружностей
5. Соединяем точки пересечения прямых и окружности

Получаем правильный четырёхугольник.
Построение правильного пятиугольника методом Дюрера.
6. Соединим точки соприкосновения этих отрезков с окружностями с концами построенной стороны пятиугольника.
7. Достроим до пятиугольника

Основоположниками раздела математики о правильных многоугольниках являлись древнегреческие ученые. Одним из них был
Архимед.
Архимед
– известный древнегреческий математик, физик и инженер. Он сделал множество открытий в геометрии, ввёл основы механики, гидростатики, создал множество важных изобретении. Архимед был просто одержим математикой. Он забывал о пище, совершенно не заботился о себе. Его открытия послужили для современных изобретений.
Построение правильного шестиугольника при помощи циркуля и линейки.

1. Построим окружность с центром в точке
O
.
2. Проведем прямую линию через центр окружности.
3. Проведем дугу окружность того же радиуса с центром в точке пересечения прямой с окружностью до пересечения с окружностью.

Презентация на тему: «Построение правильных многоугольников с помощью циркуля и линейки»
Подготовил:
Гурома
Денис
ученик 10 класса МБОУ школы №3
Учитель:
Наимова
Татьяна Михайловна
2015 год
3. Поочередно соединяем их и получаем правильный восьмиугольник.
Доказательство существования правильного
n-
угольника

А2
А1
А8
А7
А6
А5
А4
А3
Построение правильного четырёхугольника.

1. Построим окружность с центром в точке
O
.
2. Проведем 2 взаимно перпендикулярные диаметра.
3. Из точек в которых диаметры касаются окружности проводим другие окружности данного радиуса до их пересечения (окружностей).

Построение правильного пятиугольника методом Дюрера.

4. Проведем еще одну окружность того же радиуса с центром в точке пересечения двух других окружностей.

5. Проведем 2 отрезка.

Команда предназначена для последовательного построения кривых и прямых линий так, что конец предыдущего объекта является началом следующего объекта. Построение геометрии этим способом возможно также из меню Инструменты → Геометрия →

Параметр	Описание
С помощью этой кнопки завершается создание цепочки геометрических элементов. При этом производится замыкание контура из этих элементов путем соединения последнего геометрического элемента с первой точкой цепочки. Эта кнопка активна в том случае, когда возможно осуществить замыкание цепочки. Например, цепочка не получится, если последовательно построены только 2 прямых отрезка - их можно замкнуть только 3 прямым отрезком - получится треугольник (минимальная фигура). Но в случае кривой Безье - достаточно 2 точек, чтобы с помощью третьей точки замкнуть контур

Отрезок	Команды создания прямых отрезков

С помощью этой кнопки производится построение произвольного прямого отрезка, параллельного выбранной прямой линии. Эта линия может находиться вне строящейся цепочки
С помощью этой кнопки производится построение прямого отрезка, перпендикулярного выбранной прямой линии. Эта линия может находиться вне строящейся цепочки
С помощью этой кнопки производится построение прямого отрезка, касательного выбранной кривой. Эта кривая должна находиться вне строящейся цепочки. В некоторых случаях программа может предложить несколько вариантов построения касательных отрезков. Для выбора одного из них или всех вместе необходимо использовать кнопки Предыдущий или Следующий объект или, указывая мышкой на каждый нужный вариант, нажимать левую кнопку мыши. Если задать конкретную длину отрезка в поле Длина , то появляется возможность строить касательный отрезок, вторая точка которого может не лежать на выбранной кривой
Дуга	Команды создания дуг
С помощью этой кнопки производится построение произвольной дуги путем последовательного указания трех точек в графическом окне или на панели параметров
С помощью этой кнопки производится построение дуги, касательной предыдущему элементу в цепочке
Лекальная кривая	Команды создания кривых
С помощью этой кнопки производится построение сплайна по ряду точек
Сплайн по полюсам	С помощью этой кнопки производится построение сплайна по ряду ограничительных точек. При этом можно задавать Вес точки и Порядок Вес определяет «силу притяжения» кривой к точке кривой. Чем больше вес, тем ближе к точке кривая. По сути это параметр кривизны кривой (чем больше кривизна кривой, тем меньше радиус изгиба, и наоборот). Параметр Порядок определяет минимальное количество точек, по которому будет построена кривая. Минимальный порядок 3 - позволяет построить кривую по трем точкам

Построение геометрии с помощью инструмента Линия

Команда Линия предназначена для последовательного построения прямых линий и дуг так, что конец предыдущего объекта является началом следующего объекта. Панель параметров этой команды содержит вырожденное меню команды . Построение геометрии этим способом возможно также из меню Инструменты → Геометрия → Линия . Панель параметров этой кнопки содержит следующие команды:

Параметр	Описание
Отрезок	С помощью этой кнопки производится построение произвольного прямого отрезка
Дуга	С помощью этой кнопки производится построение дуги, касательной к предыдущему элементу в цепочке. При этом направление создания дуги изменяется перемещением курсора в противоположную сторону от начальной точки дуги
С помощью этой кнопки завершается создание цепочки геометрических элементов. После этого программа переходит в режим ожидания ввода новой цепочки
Если эта кнопка нажата, то производится построение цепочки элементов. Если эта кнопка отжата, то производится построение отдельных элементов (линий или дуг)

Построение кривых и ломаной линии

Построение кривых возможно из менюИнструменты → Геометрия → Кривые . Построение ломаной линии возможно из менюИнструменты → Геометрия → Ломаная . Кривая Безье представляет собой частный случай NURBS кривой. Все эти команды находятся на панели инструментов Геометрия. Способы их построения перечислены ниже:

Кнопка Сплайн предназначена для построения одноименной кривой по ряду точек. Представленные на панели параметров кнопки Разомкнутый объект и Замкнутый объект позволяют строить соответственно незамкнутую и замкнутую кривую, когда первая и последняя точки соединяются. Замкнутую кривую всегда можно переключить в незамкнутую кривую и наоборот.

У сплайна возможно расширенное редактирование характерных точек. Для этого предназначена кнопка Редактировать точки на панели параметров. Также эта команда автоматически вызывается при двойном щелчке левой кнопки мыши на уже построенной кривой. При этом точки кривой дополняются касательными отрезками, которые проходят через характерные точки кривой.

Кривую можно разбить на части с помощью команд меню Разбить → Кривую и Разбить → Кривую на N частей . Первая команда позволяет разбить выбранную кривую на 2 части в указанной точке. Вторая кривая позволяет разбить кривую на несколько равных частей. Для этого необходимо выбрать количество частей на панели параметров и указать кривую, которую необходимо разбить.

Передвигая мышкой характерные точки (квадратные точки) и концы касательных отрезков (круглые точки), можно управлять формой кривой. Можно передвигать эти точки с использование стрелок клавиатуры, для этого необходимо навести курсор на требуемую точку и нажать клавишу Enter. После этого станет возможным передвижение с помощью стрелок с шагом, кратным текущему шагу курсора. Завершить перемещение можно также по нажатию клавиши Enter. Возможно 3 варианта перемещения характерных точек:

Перемещение в любом направлении - если курсор при наведении на точку будет выглядеть в виде четырех диагональных стрелок
Перемещение в ограниченном диапазоне направлений - если курсор при наведении на точку будет выглядеть в виде четырех ортогональных стрелок
Перемещение курсора приводит к вращению геометрии - если курсор при наведении на точку будет выглядеть в виде вращающихся стрелок.

Точки кривой можно привязывать к другим объектам и другим точкам кривой с помощью глобальных и локальных привязок. Включение необходимой локальной привязки в процессе перемещения характерной точки возможно при нажатии правой кнопки мыши (или сочетании клавиш SHIFT+F10) и выборе привязки из выпадающего подменю Привязка .

Кнопка Сплайн по полюсам предназначена для построения кривой – сплайна по ряду точек. Для этого типа кривой можно задавать Вес с точки и Порядок кривой на панели параметров. Параметр Вес определяет «силу притяжения» кривой к точке кривой. Чем больше вес, тем ближе к точке кривая. По сути это параметр кривизны кривой (чем больше кривизна кривой, тем меньше радиус изгиба и наоборот). Параметр Порядок определяет минимальное количество точек, по которому будет построена кривая. Минимальный порядок 3 - позволяет построить кривую по трем точкам. Сплайн по полюсам напоминает обычный сплайн в режиме редактирования точек. Если конечные точки смежных касательных (тангенциальных) отрезков в к сплайне соединить, то получится подобие сплайна по полюсам. Сплайн по по полюсам изначально более «гладкий», чем обычный сплайн, в связи с тем, что в сплайн по полюсам обеспечивается непрерывность по кривизне.

Если построить 2 сплайна по полюcам, то можно соединить их концы так, чтобы обеспечивалась непрерывность («гладкость») в точке перехода.

Для этого необходимо построить вспомогательную линию в точке перехода с необходимым наклоном (например, касательную вспомогательную прямую в этой точке перехода) и расположить вторые точки от точки перехода на этой вспомогательной прямой. Теперь при перемещении 3 точки и выше (если смотреть от точки перехода) на любой из этих кривых будет сохраняться условие непрерывности кривой в точке перехода.

Добавить характерную точку можно с помощью простого щелчка левой кнопки мыши на нужном участке кривой.

Удалить характерную точку можно с помощью клавиши DEL при выборе требуемой точки. При этом кривая изменит форму.

Интерфейс работы со сплайнами по полюсам аналогичен интерфейсу работы с обычными сплайнами. На панели параметров можно также создать как Разомкнутый объект так и Замкнутый объект. И с помощью кнопки Редактировать точки можно также исправить форму кривой, двигая характерные точки. Точно так же, как и с кривыми Безье работают привязки, совершается перемещение точек и разбиение кривой на части.

Кнопка Ломаная предназначена для построения серии связанных между собой прямых линий. Ломаная линия отличается от обычной последовательности прямых отрезков тем, что сдвиг любого элемента не приводит к разрыву линии.

Интерфейс работы с ломаными линиями аналогичен интерфейсу работы с кривыми. На панели параметров можно также создать как Разомкнутый объект , так и Замкнутый объект . И с помощью кнопки Редактировать точки можно также исправить форму ломаной линии, двигая характерные точки. Точно так же, как и с кривыми, работают привязки и совершается перемещение точек. Отличительной особенностью ломаной линии является то, что ее можно разбить на отдельные элементы с помощью команды меню Редактор → Разрушить . После этого отдельные элементы ломаной линии можно перемещать или удалять, без воздействия на другие элементы.

Известный еще с античных времен.

В задачах на построение возможны следующие операции:

Отметить произвольную точку на плоскости, точку на одной из построенных линий или точку пересечения двух построенных линий.
С помощью циркуля нарисовать круг с центром в построенной точке и радиусом, равным расстоянию между двумя уже построенными точками.
С помощью линейки провести прямую, проходящую через две построенные точки.

При этом циркуль и линейка считаются идеальными инструментами, в частности:

1. Простой пример

Деление отрезка пополам

Задача. С помощью циркуля и линейки разделить данный отрезок AB на две равные части. Один из решений показано на рисунке:

Циркулем строим окружность с центром в точке A радиуса AB.
Строим окружность с центром в точке B радиуса AB.
Находим точки пересечения P и Q двух построенных кругов.
Линейкой проводим отрезок, соединяющий точки P и Q.
Находим точку пересечения AB и PQ. Это - искомая середина отрезка AB.

2. Правильные многоугольники

Античным геометрам были известны методы построения правильных n-угольников для , , и .

4. Возможные и невозможные построения

Все построения является ничем иным, как решением какого-либо уравнения , причем коэффициенты этого уравнения связаны с длинами заданных отрезков. Поэтому удобно говорить о построении числа - графического решения уравнения определенного типа.

В рамках вищеокреслених требований, возможны следующие постройки:

Иначе говоря, можно построить лишь числа равны арифметическим выражениям с использованием квадратного корня из исходных чисел (длин отрезков). Например,

5. Вариации и обобщения

6. Забавные факты

GeoGebra , Kig, KSEG - программы, позволяющие выполнять построения с помощью циркуля и линейки.

Литература

А. Адлер. Теория геометрических построений, Перевод с немецкого Г. М. Фихтенгольц. Издание третье. Л., Навчпедвид, 1940-232 с.
И. Александров, Сборник геометрических задач на построение, Издание восемнадцатое, М., Навчпедвид, 1950-176 с.
Б. И. Аргунов, М Б Балк.

Материал данного параграфа может использоваться на факультативных занятиях. Он может быть представлен ученикам, как в форме лекции, так и в форме докладов учеников.

Большое внимание привлекали к себе в течение многих столетий задачи, которые с давних времен известны как "знаменитые задачи древности". Под этим названием обычно фигурировали три знаменитые задачи:

1) квадратура круга,

2) трисекция угла,

3) удвоение куба.

Все эти задачи возникли в глубокой древности из практических потребностей людей. На первом этапе своего существования они выступали как вычислительные задачи: по некоторым "рецептам" вычислялись приближенные значения искомых величин (площадь круга, длина окружности и др.). На втором этапе истории этих задач происходят существенные изменения их характера: они становятся геометрическими (конструктивными) задачами.

В Древней Греции в этот период им придали классические формулировки:

1) построить квадрат, равновеликий данному кругу;

2) разделить данный угол на три равные части;

3) построить ребро нового куба, объем которого был бы в два раза больше данного куба.

Все эти геометрические построения предлагалось выполнять с помощью циркуля и линейки.

Простота формулировок этих задач и "непреодолимые трудности", встретившиеся на пути их решения, способствовали росту их популярности. Стремясь дать строгие решения указанных задач, древнегреческие ученые "попутно" получали многие важные результаты для математики, что способствовало превращению разрозненных математических знаний в самостоятельную дедуктивную науку (особенно заметный след в то время оставили пифагорейцы, Гиппократ Хиосский и Архимед).

Задача об удвоении куба.

Задача удвоения куба состоит в следующем: зная ребро данного куба, построить ребро такого куба, объем которого был бы вдвое больше объема данного куба.

Пусть а - длина ребра данного куба, х - длина ребра искомого куба. Пусть - объем данного куба, а - объем искомого куба, тогда согласно формуле вычисления объема куба имеем, что: =, а так как, согласно условию задачи, то приходим к уравнению.

Из алгебры известно, что рациональные корни приведенного уравнения с целыми коэффициентами могут быть только целыми и содержаться среди делителей свободного члена уравнения. Но делители числа 2 служат только числа +1, - 1, +2, - 2, и ни одно из них не удовлетворяет исходному уравнению. Следовательно, уравнение рациональных корней не имеет, а это значит, что задача удвоения куба не может быть решена с помощью циркуля и линейки.

Задача удвоения куба с помощью циркуля и линейки может быть решена лишь приближенно. Приведем один из самых простых способов приближенного решения этой задачи.

Пусть АВ=ВС=а, причем АВВС. Строим AD=АС, тогда CD с точностью до 1%. В самом деле, CD 1,2586…. В тоже время =1,2599….

Задача о квадратуре круга.

Обоснование неразрешимости задачи с помощью циркуля и линейки.

Задача о квадратуре круга состоит в следующем: построить квадрат равновеликий кругу.

Пусть - радиус данного круга, -длина стороны искомого квадрата. Тогда, отсюда.

Следовательно, задача о квадратуре круга будет решена, если мы построим отрезок длиной. Если радиус данного круга принять за единичный отрезок (=1), то дело сведется к построению по единичному отрезку отрезка длиной.

Как известно, зная единичный отрезок, мы можем циркулем и линейкой строить только такие отрезки, длины которых выражаются через рациональные числа с помощью конечного множества рациональных операций и извлечением квадратных корней и, значит являются числами алгебраическими. При этом будут использованы далеко не все алгебраические числа. Например, нельзя построить отрезок длиной и т.д.

В 1882 г. Линдеманн доказал, что - трансцендентное. Отсюда следует, что циркулем и линейкой нельзя построить отрезок длиной и, следовательно, этими средствами задача о квадратуре круга неразрешима.

Приближенное решение задачи с помощью циркуля и линейки.

Рассмотрим один из приемов приближенного построения отрезков длиной. Этот прием состоит в следующем. Четверть окружности АВ с центром в точке О и радиусом, равным единице, делим пополам точкой С. На продолжении диаметра CD откладываем отрезок DE, равный радиусу. Из точки Е проводим лучи ЕА и ЕВ до пересечения с касательной в точке С. отсекаемый отрезок АВ приближенно равен длине дуги АВ, а удвоенный - полуокружности.

Относительная погрешность этого приближения не превышает 0,227%.

Задача о трисекции угла.

Обоснование неразрешимости задачи с помощью циркуля и линейки.

Задача о трисекции угла состоит в следующем : разделить данный угол на три равные части.

Ограничимся решением задачи для углов, не превышающих 90. Если - тупой угол, то =180-, где <90, так что, и поэтому задача о трисекции тупого угла сводится к задаче о трисекции острого угла.

Заметим, что (при наличии единичного отрезка) задача о построении угла (90) равносильна задаче о построении отрезка х=соs . В самом деле, если угол построен, то построение отрезка х=соs сводится к построению прямоугольного треугольника по гипотенузе и острому углу.

Обратно. Если построен отрезок х, то построение такого угла, что х=соs , сводится к построению прямоугольного треугольника по гипотенузе и катету.

Пусть - данный угол, - искомый угол, так что =. Тогда cos=cos 3. Известно, что cos 3= 4cos-3cos . Поэтому, полагая cos =, а cos =, приходим к уравнению:

cos =4cos-3cos ,

Отрезок, а следовательно, и угол могут быть построены лишь в том случае, когда это уравнение имеет хотя бы один рациональный корень. Но это имеет место не при всяком, и поэтому задача о трисекции угла, вообще говоря не разрешима с помощью циркуля и линейки. Например. При =60 получим =1 и найденное уравнение принимает вид: . Легко проверить, что это уравнение не обладает никаким рациональным корнем, откуда следует невозможность деления угла в 60 на три равные части с помощью циркуля и линейки. Таким образом, задача о трисекции угла не разрешима циркулем и линейкой в общем виде.

Приближенное решение задачи с помощью циркуля и линейки.

Рассмотрим один из способов приближенного решения задачи с помощью циркуля и линейки, предложенный Альбертом Дюрером (1471-1528).

Пусть дан угол ASB. Из вершины S произвольным радиусом описываем окружность и соединяем точки пересечения сторон угла с окружностью хордой АВ. Делим эту хорду на три равные части в точках R и R (А R= R R= RВ). из точек А и В, как из центров, радиусами А R= RВ описываем дуги, пересекающие окружность в точках Т и Т. Проведем RSAB. Радиусами А S= BS проводим дуги, пересекающие АВ в точках U и U. Дуги АТ, SS и TB равны между собой, так как стягиваются равными хордами.

Чтобы найти точки трисекции угла X и X, Дюрер делит на три равные части отрезки RU и RU точками PV и PV. Затем радиусами AV и BV проводим дуги, которые пересекают окружность в точках X и X. Соединив эти точки с S, получим деление данного угла на три равные части с хорошим приближением к истинным величинам.