Видеоурок «Алгебраические дроби. Основные понятия

Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 8 класс>>Математика:Умножение и деление алгебраических дробей. Возведение алгебраической дроби в степень

Умножение и деление алгебраических дробей. Возведение алгебраической дроби в степень

Умножение алгебраических дробей осуществляется по тому же правилу, что и умножение обыкновенных дробей :

Аналогично обстоит дело с делением алгебраических дробей, с возведением алгебраической дроби в натуральную степень. Правило деления выглядит так:

а правило возведения в степень

Прежде чем выполнять умножение и деление алгебраических дробей, полезно их числители и знаменатели разложить на множители - это облегчит сокращение той алгебраической дроби, которая получится в результате умножения или деления.

Пример 1. Выполнить действия:

Воспользуемся тем, что (b — а) 2 = (а — b) 2 . Получим

Мы учли, что в результате деления а — b на b — а получится -1.
Впрочем, знак «-» в данном случае лучше переместить в знаменатель:

Пример З. Выполнить действия:

Мордкович А. Г., Алгебра . 8 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений.- 3-е изд., доработ. - М.: Мнемозина, 2001. - 223 с: ил.

Математика за 8 класс бесплатно скачать, планы конспектов уроков, готовимся к школе онлайн

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь — Образовательный форум.

Алгебраические дроби. Сокращение алгебраических дробей

Прежде чем перейти к изучению алгебраических дробей рекомендуем вспомнить, как работать с обыкновенными дробями.

Любая дробь, в которой есть буквенный множитель, называется алгебраической дробью.

Примеры алгебраических дробей .

Как и у обыкновенной дроби, в алгебраической дроби есть числитель (наверху) и знаменатель (внизу).

Сокращение алгебраической дроби

Алгебраическую дробь можно сокращать . При сокращении пользуются правилами сокращения обыкновенных дробей.

Напоминаем, что при сокращении обыкновенной дроби мы делили и числитель, и знаменатель на одно и тоже число.

Алгебраическую дробь сокращают таким же образом, но только числитель и знаменатель делят на один и тот же многочлен.

Рассмотрим пример сокращения алгебраической дроби .

Определим наименьшую степень, в которой стоит одночлен « a » . Наименьшая степень для одночлена « a » находится в знаменателе - это вторая степень.

Разделим, и числитель, и знаменатель на « a 2 ». При делении одночленов используем свойство степени частного.

Напоминаем, что любая буква или число в нулевой степени - это единица.

Нет необходимости каждый раз подробно записывать, на что сокращали алгебраическую дробь. Достаточно держать в уме степень, на которую сокращали, и записывать только результат.

Краткая запись сокращения алгебраической дроби выглядит следующим образом.

Сокращать можно только одинаковые буквенные множители.

Нельзя сокращать

Можно сокращать

Другие примеры сокращения алгебраических дробей.

Как сократить дробь с многочленами

Рассмотрим другой пример алгебраической дроби. Требуется сократить алгебраическую дробь, у которой в числителе стоит многочлен.

Сокращать многочлен в скобках можно только с точно таким же многочленом в скобках!

Ни в коем случае нельзя сокращать часть многочлена внутри скобок!

Определить, где заканчивается многочлен, очень просто. Между многочленами может быть только знак умножения. Весь многочлен находится внутри скобок.

После того, как мы определили многочлены алгебраической дроби, сократим многочлен « (m − n) » в числителе с многочленом « (m − n) » в знаменателе.

Примеры сокращения алгебраических дробей с многочленами.

Вынесение общего множителя при сокращении дробей

Чтобы в алгебраических дробях появились одинаковые многочлены иногда нужно вынести общий множитель за скобки.

В таком виде сократить алгебраическую дробь нельзя, так как многочлен
« (3f + k) » можно сократить только со многочленом « (3f + k) ».

Поэтому, чтобы в числителе получить « (3f + k) », вынесем общий множитель « 5 ».

Сокращение дробей с помощью формул сокращенного умножения

В других примерах для сокращения алгебраических дробей требуется
применение формул сокращенного умножения.

В первоначальном виде сократить алгебраическую дробь нельзя, так как нет одинаковых многочленов.

Но если применить формулу разности квадратов для многочлена « (a 2 − b 2) », то одинаковые многочлены появятся.

Другие примеры сокращения алгебраических дробей с помощью формул сокращенного умножения.

Умножение алгебраических дробей

При умножении алгебраических дробей используют правила умножения обыкновенных дробей.

Правило умножения алгебраических дробей

При умножении алгебраических дробей
числитель умножается на числитель, а знаменатель - на знаменатель.

Рассмотрим пример умножения алгебраических дробей .

При сокращении алгебраических дробей используют правила сокращения алгебраических дробей.

Рассмотрим еще один пример умножения алгебраических дробей, которые содержат многочлены и в числителе, и в знаменателе.

При умножении алгебраических дробей, которые содержат многочлены и в числителе, и в знаменателе, заключайте многочлены в скобки целиком.

Неправильно

Как умножить алгебраическую дробь на одночлен (букву)

Рассмотрим пример умножения алгебраической дроби на одночлен.

Представим одночлен « 21z 5 » как алгебраическую дробь со знаменателем « 1 ». Это можно сделать, так как при делении на « 1 » получается тот же самый одночлен.

При умножении алгебраической дроби не забывайте использовать правило знаков.

Рассмотрим пример умножения двух отрицательных алгебраических дробей.

Перед тем как перемножить алгебраические дроби, определим итоговый знак по правилу знаков: « минус на минус дает плюс ».

Значит, итоговым знаком произведения будет знак « + ».

Методическая разработка по теме «Алгебраические дроби». 7-й класс

Разделы: Математика

Данный урок проводился в конце изучения темы “Алгебраические дроби” с целью повторения и закрепления знаний основных алгоритмов преобразований и действий с алгебраическими дробями.

Тема методической разработки.

Методика организации урока обобщения и систематизации знаний в соответствии с требованиями новых ФГОС.

Цели методической разработки .

Использование различных видов деятельности учащихся, применение элементов современных педагогических технологий (метапредметной технологии, технологии разноуровневого обучения, проблемно-развивающего обучения, коллективной работы, работы в парах).

Методическое обоснование темы.

Изучение темы “Алгебраические дроби” вызывает затруднения у многих учащихся, особенно, сложение и вычитание алгебраических дробей. Умение выполнять преобразования с алгебраическими дробями предполагает наличие знаний и умений учащихся по предыдущим темам, изучаемым в 7-м классе: “Алгебраические выражения”, “Одночлены и многочлены”, “Разложение многочлена на множители”, а также правил действия с обыкновенными дробями и др.

Решение многих теоретических и практических задач сводится к составлению математических моделей в виде алгебраических выражений, включающих алгебраические дроби. Приобретая опыт работы с такими моделями, учащиеся могут использовать этот опыт при изучении других предметов в школе и в практической жизни.

Сложность данной темы и ее важность для развития метапредметных умений учащихся очевидны и требуют особенно внимательного подхода к ее изучению с учетом введения в школе новых образовательных стандартов.

На изучение темы “Алгебраические дроби” по учебнику Алимова Ш.А по программе выделяется 22 часа. Из них 5 часов – на тему “Совместные действия с алгебраическими дробями”. Рассматриваемый урок рекомендуется проводить в завершение изучения данной темы перед контрольной работой.

Учитывая математическую подготовленность класса, можно варьировать объем самостоятельной работы учащихся, допуская повторение изученных алгоритмов действий с алгебраическими дробями по учебнику.

Тема урока: “Алгебраические дроби”

Тип урока: Урок повторения, систематизации и обобщения знаний, закрепления умений .

Вид урока: Урок-соревнование.

Формы работы на уроке: Коллективная, индивидуальная, в парах, в диалоге.

Цель методическая: Более глубокое усвоение, обобщение и систематизация знаний по теме “Алгебраические дроби” для обеспечения возможности их осмысленного использования учащимися вне урока математики.

Обучения: Закрепление знаний, отработка навыков использования формул сокращенного умножения, приемов разложения многочленов на множители, правил преобразования, совместных действий над алгебраическими дробями. Обобщение материала по теме.
Развития: Создание условий, обеспечивающих активную познавательную позицию учеников на уроке путем использования различных видов опроса, самостоятельной работы, межпредметной связи, развитие умений объяснять особенности, закономерности, анализировать, сопоставлять, сравнивать.
Воспитания: Воспитание самооценки, самоконтроля в ходе самостоятельного выбора уровня сложности заданий. Воспитание общей культуры труда.

Материально-техническое обеспечение урока: карточки с разноуровневыми заданиями, жетоны (синие – 1 балл, зеленые – 2 балла, красные – 3 балла), компьютерная техника (компьютер, мультимедийный проектор, мобильный экран).

Постановка цели урока и мотивация учебной деятельности учащихся (презентация учителя).
Воспроизведение и коррекция опорных знаний по теме “Алгебраические дроби”, включающей операции сокращения, сложения и вычитания, умножения и деления алгебраических дробей, а также совместные действия с алгебраическими дробями. Сопоставление алгоритмов действий с обыкновенными и алгебраическими дробями. Решение заданий различной степени сложности.
Релаксационная пауза (включается в ход урока после повторения темы “Сложение и вычитание алгебраических дробей”).
Решение задачи, показывающей межпредметную связь.
Подведение итогов урока.
Домашнее задание.

1. Вступительное слово учителя

Сегодня на уроке мы повторим большую тему “Алгебраические дроби”, подготовимся к контрольной работе и постараемся понять, зачем нам нужны знания по данной теме.

Наш урок пройдет в виде соревнования за личное первенство. В ходе работы на уроке каждый из вас может “заработать” баллы за правильно выполненные задания, ответы и получить соответствующую оценку.

Давайте попытаемся ответить на вопросы:

Что такое алгебраическая дробь?
Какие операции производят с алгебраическими дробями?
Математическая модель. Что это такое?
Где используются алгебраические дроби?

Учащиеся отвечают на вопросы.

Правильно оценить ответы нам поможет презентация учителя “В мире алгебраических дробей” (Приложение 1) .

Какой выводы мы можем сделать после просмотра презентации?

Учащиеся высказывают свои мнения.

Алгебраические дроби используются не только на уроках математики, но и во многих сферах деятельности человека.
Для применения алгебраических дробей необходимо научиться правильно оперировать ими: выполнять сокращение, сложение, вычитание, умножение, деление.

2. Повторение темы: “Алгебраическая дробь. Сокращение алгебраических дробей”.

2.1. Дифференцированный опрос у доски по карточкам:

2.2. Во время подготовки отвечающих у доски – фронтальный опрос (за каждый правильный ответ – 1 балл):

Дать определение алгебраической дроби.
Как найти ее числовое значение?
Любое ли значение могут принимать буквы, входящие в алгебраическую дробь?
В чем заключается основное свойство дроби?
Что значит сократить обыкновенную дробь?
Что значит сократить алгебраическую дробь?
Отличаются ли правила сокращения обыкновенных и алгебраических дробей?
Какие способы разложения многочлена на множители вы знаете?

Учитель подводит итог:

Правила сокращения обыкновенных и алгебраических дробей аналогичны.

2.3. Слушаем, дополняем пояснениями, оцениваем ответы учеников, стоящих у доски.
За правильные дополнительные ответы учащиеся получают жетоны (баллы).

Проверку правильности решения делают учащиеся, работая в парах.

3. Повторение темы: “Сложение и вычитание алгебраических дробей”

3.1. Индивидуальный дифференцированный опрос по карточкам на доске. Выбор сложности задания осуществляется по желанию. Время выполнения – 10 минут.

Ответы появляются на мобильном экране позже (во время проверки).

3.2. Во время подготовки учащихся по карточкам класс пишет диктант. Диктант составлен из выполненных упражнений. Задания предъявляются на мобильном экране (ответы – позже). В решении некоторых из них допущены ошибки. Выполненные задания записать в тетрадь. Если задание выполнено правильно, давать краткий ответ: “Да”, если неправильно: “Нет”. Выделять место появления ошибки (карандашом).

Проверку правильности решения делают учащиеся, работая в парах. Правильные ответы объявляет учитель.

3.3. Слушаем, дополняем, комментируем ответы учеников, выполняющих задания на доске. Повторяем правила сложения и вычитания алгебраических дробей. За правильные дополнения учащиеся получают жетоны (баллы).

Вопрос: Что вы можете сказать, сравнив правила сложения обыкновенных и алгебраических дробей?

Ответ: Да, правила сложения обыкновенных и алгебраических дробей аналогичны.

4. Релаксационная пауза.

Выполняем упражнения для расслабления глаз. Сядьте прямо. Прикройте глаза ладонями, опустите веки. Попытайтесь вспомнить что-нибудь приятное, например, море, звездное небо, речную гладь. Даже за 15–30 секунд ваши глаза немного отдохнут.

5. Повторение темы: “Умножение и деление алгебраических дробей”.

5.1. Индивидуальный дифференцированный опрос по карточкам:

Примеры под цифрой 1) предложить для решения у доски, под цифрой 2) – самостоятельно, выбирая по желанию один пример из трех.

Слушаем, дополняем, комментируем ответы учеников, выполняющих задания на доске. За правильные дополнения учащиеся получают жетоны (баллы).

5.2. Перекрестный опрос:

Правило умножения алгебраических дробей (1 балл).
Правило деления алгебраических дробей (1 балл).
Правило возведения в степень алгебраической дроби (1 балл).
Правила умножения, деления, возведения в степень обыкновенных дробей.

Вопрос: Какой вывод вы можете сделать?

Ответ: Да, правила умножения и деления обыкновенных и алгебраических дробей аналогичны.

6. Повторение темы: “Совместные действия над алгебраическими дробями”.

Вопросы для повторения:

Как устанавливается порядок действий в числовом выражении?
Как устанавливается порядок действий в алгебраическом выражении?
Какие способы записи решения при выполнении совместных действий над алгебраическими дробями вы знаете?

Предварительная работа – в парах, затем – фронтальный опрос.

Самостоятельная работа. Выполнить действия:

Время работы ограничено. Выбор заданий – по желанию, после предъявления правильных ответов учащиеся делают самопроверку самостоятельной работы.

7. Задача и учебника № 518 – как пример использования межпредметной связи.

Сопротивление R участка цепи, состоящего из двух параллельно соединенных проводников, вычисляется по формуле:

8. Подведение итогов:

В этой статье мы рассмотрим основные действия с алгебраическими дробями :

сокращение дробей
умножение дробей
деление дробей

Начнем с сокращения алгебраических дробей .

Казалось бы, алгоритм очевиден.

Чтобы сократить алгебраические дроби , нужно

1. Разложить числитель и знаменатель дроби на множители.

2. Сократить одинаковые множители.

Однако, школьники часто делают ошибку, "сокращая" не множители, а слагаемые. Например, есть любители, которые в дроби "сокращают" на и получают в результате , что, разумеется, неверно.

Рассмотрим примеры:

1. Сократить дробь:

1. Разложим на множители числитель по формуле квадрата суммы, а знаменатель по формуле разности квадратов

2. Разделим числитель и знаменатель на

2. Сократить дробь:

1. Разложим на множители числитель. Так как числитель содержит четыре слагаемых, применим группировку.

2. Разложим на множители знаменатель. Так же применим группировку.

3. Запишем дробь, которая у нас получилась и сократим одинаковые множители:

Умножение алгебраических дробей.

При умножении алгебраических дробей мы числитель умножаем на числитель, а знаменатель умножаем на знаменатель.

Важно! Не нужно торопиться выполнять умножение в числителе и знаменателе дроби. После того, как мы записали в числителе произведение числителей дробей, а в знаменателе - произведение знаменателей, нужно разложить на множители каждый множитель и сократить дробь.

Рассмотрим примеры:

3. Упростите выражение:

1. Запишем произведение дробей: в числителе произведение числителей, а в знаменателе произведение знаменателей:

2. Разложим каждую скобку на множители:

Теперь нам нужно сократить одинаковые множители. Заметим, что выражения и отличаются только знаком: и в результате деления первого выражения на второе получим -1.

Итак,

Деление алгебраических дробей мы выполняем по такому правилу:

То есть чтобы разделить на дробь, нужно умножить на "перевернутую".

Мы видим, что деление дробей сводится к умножению, а умножение, в конечном итоге, сводится к сокращению дробей.

Рассмотрим пример:

4. Упростите выражение:

Уравнения, содержащие переменную в знаменателе можно решать двумя способами:

Приведя дроби к общему знаменателю

Используя основное свойство пропорции

Вне зависимости от выбранного способа необходимо после нахождения корней уравнения выбрать из найденных допустимые значения, т.е те, которые не обращают знаменатель в $0$.

1 способ. Приведение дробей к общему знаменателю.

Пример 1

$\frac{2x+3}{2x-1}=\frac{x-5}{x+3}$

Решение:

1.Перенесем дробь из правой части уравнения в левую

\[\frac{2x+3}{2x-1}-\frac{x-5}{x+3}=0\]

Для того чтобы правильно это сделать, вспомним, что при перенесении элементов в другую часть уравнения меняется знак перед выражениями на противоположный. Значит, если в правой части перед дробью был знак «+», то в левой перед ней будет знак «-».Тогда в левой части получим разность дробей.

2.Теперь отметим что у дробей разные знаменатели, значит для того, чтобы составить разность необходимо привести дроби к общему знаменателю. Общим знаменателем будет произведение многочленов, стоящих в знаменателях исходных дробей: $(2x-1)(x+3)$

Для того чтобы получить тождественное выражение, числитель и знаменатель первой дроби необходимо умножить на многочлен $(x+3)$, а второй на многочлен $(2x-1)$.

\[\frac{(2x+3)(х+3)}{(2x-1)(х+3)}-\frac{(x-5)(2х-1)}{(x+3)(2х-1)}=0\]

Выполним преобразование в числителе первой дроби-произведем умножение многочленов. Вспомним, что для этого необходимо умножить первое слагаемое первого многочлена умножить на каждое слагаемое второго многочлена, затем второе слагаемое первого многочлена умножить на каждое слагаемое второго многочлена и результаты сложить

\[\left(2x+3\right)\left(х+3\right)=2х\cdot х+2х\cdot 3+3\cdot х+3\cdot 3={2х}^2+6х+3х+9\]

Приведем подобные слагаемые в полученном выражении

\[\left(2x+3\right)\left(х+3\right)=2х\cdot х+2х\cdot 3+3\cdot х+3\cdot 3={2х}^2+6х+3х+9=\] \[{=2х}^2+9х+9\]

Выполним аналогично преобразование в числителе второй дроби-произведем умножение многочленов

$\left(x-5\right)\left(2х-1\right)=х\cdot 2х-х\cdot 1-5\cdot 2х+5\cdot 1={2х}^2-х-10х+5={2х}^2-11х+5$

Тогда уравнение примет вид:

\[\frac{{2х}^2+9х+9}{(2x-1)(х+3)}-\frac{{2х}^2-11х+5}{(x+3)(2х-1)}=0\]

Теперь дроби с одинаковым знаменателем, значит можно производить вычитание. Вспомним, что при вычитании дробей с одинаковым знаменателем из числителя первой дроби необходимо вычесть числитель второй дроби, знаменатель оставить прежним

\[\frac{{2х}^2+9х+9-({2х}^2-11х+5)}{(2x-1)(х+3)}=0\]

Преобразуем выражение в числителе. Для того, чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «-» надо изменить все знаки перед слагаемыми, стоящими в скобках на противоположные

\[{2х}^2+9х+9-\left({2х}^2-11х+5\right)={2х}^2+9х+9-{2х}^2+11х-5\]

Приведем подобные слагаемые

${2х}^2+9х+9-\left({2х}^2-11х+5\right)={2х}^2+9х+9-{2х}^2+11х-5=20х+4$

Тогда дробь примет вид

\[\frac{{\rm 20х+4}}{(2x-1)(х+3)}=0\]

3.Дробь равна $0$, если ее числитель равен 0. Поэтому мы приравниваем числитель дроби к $0$.

\[{\rm 20х+4=0}\]

Решим линейное уравнение:

4.Проведем выборку корней. Это значит, что необходимо проверить, не обращаются ли знаменатели исходных дробей в $0$ при найденных корнях.

Поставим условие, что знаменатели не равны $0$

х$\ne 0,5$ х$\ne -3$

Значит допустимы все значения переменных, кроме $-3$ и $0,5$.

Найденный нами корень является допустимым значением, значит его смело можно считать корнем уравнения. Если бы найденный корень был бы не допустимым значением, то такой корень был бы посторонним и,конечно, не был бы включен в ответ.

Ответ: $-0,2.$

Теперь можем составить алгоритм решения уравнения, которое содержит переменную в знаменателе

Алгоритм решения уравнения, которое содержит переменную в знаменателе

Перенести все элементы из правой части уравнения в левую. Для получения тождественного уравнения необходимо изменить все знаки, стоящие перед выражениями в правой части на противоположные

Если в левой части мы получим выражение с разными знаменателями, то приводим их к общему, используя основное свойство дроби. Выполнить преобразования, используя тождественные преобразования и получить итоговую дробь равную $0$.

Приравнять числитель к $0$ и найти корни получившегося уравнения.

Проведем выборку корней, т.е. найти допустимые значения переменных, которые не обращают знаменатель в $0$.

2 способ. Используем основное свойство пропорции

Основным свойством пропорции является то, что произведение крайних членов пропорции равно произведению средних членов.

Пример 2

Используем данное свойство для решения этого задания

\[\frac{2x+3}{2x-1}=\frac{x-5}{x+3}\]

1.Найдем и приравняем произведение крайних и средних членов пропорции.

$\left(2x+3\right)\cdot(\ x+3)=\left(x-5\right)\cdot(2x-1)$

\[{2х}^2+3х+6х+9={2х}^2-10х-х+5\]

Решив полученное уравнение, мы найдем корни исходного

2.Найдем допустимые значения переменной.

Из предыдущего решения (1 способ) мы уже нашли, что допустимы любые значения, кроме $-3$ и $0,5$.

Тогда, установив что найденный корень является допустимым значением, мы выяснили, что $-0,2$ будет являться корнем.

§ 1 Понятие алгебраической дроби

Алгебраической дробью называют выражение

где Р и Q —многочлены; Р — числитель алгебраической дроби, Q — знаменатель алгебраической дроби.

Вот примеры алгебраических дробей:

Любой многочлен - это частный случай алгебраической дроби, потому что любой многочлен можно записать в виде

Например:

Значение алгебраической дроби зависит от значения переменных.

Например, вычислим значение дроби

В первом случае получаем:

Заметим, данную дробь можно сократить:

Таким образом, вычисление значения алгебраической дроби упрощается. Воспользуемся этим.

Во втором случае получим:

Как видно, с изменением значений переменных изменилось значение алгебраической дроби.

§ 2 Допустимые значения переменных алгебраической дроби

Рассмотрим алгебраическую дробь

Значение x = -1 является недопустимым для данной дроби, т.к. знаменатель дроби при таком значении х обращается в нуль. При этом значении переменной алгебраическая дробь не имеет смысла.

Таким образом, допустимыми значениями переменных алгебраической дроби являются такие значения переменных, при которых знаменатель дроби не обращается в нуль.

Решим несколько примеров.

При каких значениях переменной не имеет смысла алгебраическая дробь:

Для нахождения недопустимых значений переменных знаменатель дроби приравнивается к нулю, и находятся корни соответствующего уравнения.

При каких значениях переменной равна нулю алгебраическая дробь:

Дробь равна нулю, если числитель равен нулю. Приравняем к нулю числитель нашей дроби и найдем корни получившегося уравнения:

Таким образом, при x = 0 и x= 3 данная алгебраическая дробь не имеет смысла, а значит, мы должны исключить эти значения переменной из ответа.

Итак, на этом уроке Вы изучили основные понятия алгебраической дроби: числитель и знаменатель дроби, а также допустимые значения переменных алгебраической дроби.

Список использованной литературы:

Мордкович А.Г. «Алгебра» 8 класс. В 2 ч. Ч.1 Учебник для обще образовательных учреждений / А.Г. Мордкович. – 9-е изд., перераб. – М.: Мнемозина, 2007. – 215 с.: ил.
Мордкович А.Г. «Алгебра» 8 класс. В 2 ч. Ч.2 Задачник для общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович, Т.Н. Мишустина, Е.Е. Тульчинская. – 8-е изд., – М.: Мнемозина, 2006 – 239с.
Алгебра. 8 класс. Контрольные работы для учащихся образовательных учреждений Л.А. Александрова под ред. А.Г. Мордковича 2-е изд., стер. - М.: Мнемозина 2009. - 40с.
Алгебра. 8 класс. Самостоятельные работы для учащихся образовательных учреждений: к учебнику А.Г. Мордковича, Л.А. Александрова под ред. А.Г. Мордковича. 9-е изд., стер. - М.: Мнемозина 2013. - 112с.

Логично перейти к разговору о действиях с алгебраическими дробями . С алгебраическими дробями определены следующие действия: сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в натуральную степень. Причем все эти действия замкнуты, в том смысле, что в результате их выполнения получается алгебраическая дробь. Разберем каждое из них по порядку.

Да, сразу стоит заметить, что действия с алгебраическими дробями являются обобщениями соответствующих действий с обыкновенными дробями. Поэтому соответствующие правила практически дословно совпадают с правилами выполнения сложения и вычитания, умножения, деления и возведения в степень обыкновенных дробей.

Навигация по странице.

Сложение алгебраических дробей

Сложение любых алгебраических дробей подходит под один из двух следующих случаев: в первом складываются дроби с одинаковыми знаменателями, во втором – с разными. Начнем с правила сложения дробей с одинаковыми знаменателями.

Чтобы сложить алгебраические дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить числители, а знаменатель оставить прежним.

Озвученное правило позволяет перейти от сложения алгебраических дробей к сложению многочленов , находящихся в числителях. Например, .

Для сложения алгебраических дробей с разными знаменателями действовать нужно по следующему правилу: привести их к общему знаменателю, после чего сложить полученные дроби с одинаковыми знаменателями.

Например, при сложении алгебраических дробей и их сначала нужно привести к общему знаменателю, в результате они примут вид и соответственно, после чего выполняется сложение этих дробей с одинаковыми знаменателями: .

Вычитание

Следующее действие – вычитание алгебраических дробей – выполняется аналогично сложению. Если знаменатели исходных алгебраических дробей одинаковые, то нужно просто выполнить вычитание многочленов в числителях, а знаменатель оставить прежним. Если же знаменатели различны, то сначала выполняется приведение к общему знаменателю, после чего выполняется вычитание полученных дробей с одинаковыми знаменателями.

Приведем примеры.

Выполним вычитание алгебраических дробей и , их знаменатели одинаковые, поэтому . Полученную алгебраическую дробь можно еще сократить: .

Теперь вычтем из дроби дробь . Эти алгебраические дроби с разными знаменателями, поэтому, сначала приводим их к общему знаменателю, который в данном случае есть 5·x·(x-1) , имеем и . Осталось выполнить вычитание:

Умножение алгебраических дробей

Алгебраические дроби можно умножать. Выполнение этого действия проводится аналогично умножению обыкновенных дробей по следующему правилу: чтобы умножить алгебраические дроби нужно отдельно перемножить числители, и отдельно – знаменатели.

Приведем пример. Умножим алгебраическую дробь на дробь . Согласно озвученному правилу имеем . Осталось полученную дробь преобразовать к алгебраической дроби, для этого в данном случае нужно выполнить умножение одночлена и многочлена (а в общем случае - умножение многочленов) в числителе и знаменателе: .

Стоит заметить, что перед умножением алгебраических дробей желательно разложить на множители многочлены , находящиеся в их числителях и знаменателях. Это связано с возможностью сокращения получаемой дроби. Например,
.

Более детально это действие разобрано в статье .

Деление

Движемся дальше по действиям с алгебраическими дробями. На очереди – деление алгебраических дробей. Следующее правило сводит деление алгебраических дробей к умножению: чтобы разделить одну алгебраическую дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй.

Под алгебраической дробью, обратной к данной дроби, понимается дробь с переставленными местами числителем и знаменателем. Иными словами, две алгебраические дроби считаются взаимно обратными, если их произведение тождественно равно единице (по аналогии с ).

Приведем пример. Выполним деление . Дробь, обратная делителю , есть . Таким образом, .

Для получения более детальной информации обращайтесь к упомянутой в предыдущем пункте статье умножение и деление алгебраических дробей .

Возведение алгебраической дроби в степень

Наконец, переходим к последнему действию с алгебраическими дробями – возведению в натуральную степень. , а также то, как мы определили умножение алгебраических дробей, позволяет записать правило возведения алгебраической дроби в степень: нужно в эту степень отдельно возвести числитель, и отдельно – знаменатель.

Покажем пример выполнения этого действия. Возведем алгебраическую дробь во вторую степень. По приведенному правилу имеем . Осталось возвести в степень одночлен в числителе, а также возвести в степень многочлен в знаменателе, что даст алгебраическую дробь вида .

Решение других характерных примеров показаны в статье возведение алгебраической дроби в степень.

Список литературы.

Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Мордкович А. Г. Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. - 11-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2009. - 215 с.: ил. ISBN 978-5-346-01155-2.
Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): Учеб. пособие.- М.; Высш. шк., 1984.-351 с., ил.

Все права защищены.
Охраняется законом об авторском праве. Ни одну часть сайта , включая внутренние материалы и внешнее оформление, нельзя воспроизводить в какой-либо форме или использовать без предварительного письменного разрешения правообладателя.