Упростить выражение и найти его значение онлайн. Как упростить математическое выражение

Замечание 1

Логическую функцию можно записать с помощью логического выражения, а затем можно перейти к логической схеме. Упрощать логические выражения надо для того, чтобы получить как можно более простую (а значит, и более дешёвую) логическую схему. По сути, логическая функция, логическое выражение и логическая схема −это три разных языка, рассказывающие об одной сущности.

Для упрощения логических выражений используют законы алгебры логики .

Какие-то преобразования похожи на преобразования формул в классической алгебре (вынесение общего множителя за скобки, использование переместительного и сочетательного законов и т.п.), а другие преобразования основаны на свойствах, которыми операции классической алгебры не обладают (использование распределительного закона для конъюнкции, законов поглощения, склеивания, правил де Моргана и др.).

Законы алгебры логики формулируются для базовых логических операций - “НЕ” – инверсия (отрицание), “И” – конъюнкция (логическое умножение) и “ИЛИ” – дизъюнкция (логическое сложение).

Закон двойного отрицания означает, что операция “НЕ” обратима: если применить ее дважды, то в итоге логическое значение не изменится.

Закон исключенного третьего гласит, что любое логическое выражение либо истинно, либо ложно (“третьего не дано”). Поэтому если $A=1$, то $\bar{A}=0$ (и наоборот), а, значит, конъюнкция этих величин всегда равно нулю, а дизъюнкция равна единице.

$((A + B) → C) \cdot (B → C \cdot D) \cdot C.$

Упростим эту формулу:

Рисунок 3.

Отсюда следует, что $A = 0$, $B = 1$, $C = 1$, $D = 1$.

Ответ: в шахматы играют ученики $B$, $C$ и $D$, а ученик $A$ не играет.

При упрощении логических выражений можно выполнять такую последовательность действий :

1. Заменить все “небазовые” операции (эквивалентность, импликацию, исключающее ИЛИ и др.) на их выражения через базовые операции инверсию, конъюнкцию и дизъюнкцию.
2. Раскрыть инверсии сложных выражений по правилам де Моргана таким образом, чтобы операции отрицания остались только у отдельных переменных.
3. Затем упростить выражение, используя раскрытие скобок, вынесение общих множителей за скобки и другие законы алгебры логики.

Пример 2

Здесь последовательно использованы правило де Моргана, распределительный закон, закон исключенного третьего, переместительный закон, закон повторения, вновь переместительный закон и закон поглощения.

Среди различных выражений, которые рассматриваются в алгебре, важное место занимают суммы одночленов. Приведем примеры таких выражений:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8 \)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2 \)

Сумму одночленов называют многочленом. Слагаемые в многочлене называют членами многочлена. Одночлены также относят к многочленам, считая одночлен многочленом, состоящим из одного члена.

Например, многочлен
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
можно упростить.

Представим все слагаемые в виде одночленов стандартного вида:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)

Приведем в полученном многочлене подобные члены:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Получился многочлен, все члены которого являются одночленами стандартного вида, причем среди них нет подобных. Такие многочлены называют многочленами стандартного вида .

За степень многочлена стандартного вида принимают наибольшую из степеней его членов. Так, двучлен \(12a^2b - 7b \) имеет третью степень, а трехчлен \(2b^2 -7b + 6 \) - вторую.

Обычно члены многочленов стандартного вида, содержащих одну переменную, располагают в порядке убывания показателей ее степени. Например:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)

Сумму нескольких многочленов можно преобразовать (упростить) в многочлен стандартного вида.

Иногда члены многочлена нужно разбить на группы, заключая каждую группу в скобки. Поскольку заключение в скобки - это преобразование, обратное раскрытию скобок, то легко сформулировать правила раскрытия скобок:

Если перед скобками ставится знак «+», то члены, заключаемые в скобки, записываются с теми же знаками.

Если перед скобками ставится знак «-», то члены, заключаемые в скобки, записываются с противоположными знаками.

Преобразование (упрощение) произведения одночлена и многочлена

С помощью распределительного свойства умножения можно преобразовать (упростить) в многочлен произведение одночлена и многочлена. Например:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

Произведение одночлена и многочлена тождественно равно сумме произведений этого одночлена и каждого из членов многочлена.

Этот результат обычно формулируют в виде правила.

Чтобы умножить одночлен на многочлен, надо умножить этот одночлен на каждый из членов многочлена.

Мы уже неоднократно использовали это правило для умножения на сумму.

Произведение многочленов. Преобразование (упрощение) произведения двух многочленов

Вообще, произведение двух многочленов тождественно равно сумме произведении каждого члена одного многочлена и каждого члена другого.

Обычно пользуются следующим правилом.

Чтобы умножить многочлен на многочлен, надо каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого и сложить полученные произведения.

Формулы сокращенного умножения. Квадраты суммы, разности и разность квадратов

С некоторыми выражениями в алгебраических преобразованиях приходится иметь дело чаще, чем с другими. Пожалуй, наиболее часто встречаются выражения \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) и \(a^2 - b^2 \), т. е. квадрат суммы, квадрат разности и разность квадратов. Вы заметили, что названия указанных выражений как бы не закончены, так, например, \((a + b)^2 \) - это, конечно, не просто квадрат суммы, а квадрат суммы а и b. Однако квадрат суммы а и b встречается не так уж часто, как правило, вместо букв а и b в нем оказываются различные, иногда довольно сложные выражения.

Выражения \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) нетрудно преобразовать (упростить) в многочлены стандартного вида, собственно, вы уже встречались с таким заданием при умножении многочленов:
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

Полученные тождества полезно запомнить и применять без промежуточных выкладок. Помогают этому краткие словесные формулировки.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - квадрат суммы равен сумме квадратов и удвоенного произведения.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - квадрат разности равен сумме квадратов без удвоенного произведения.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - разность квадратов равна произведению разности на сумму.

Эти три тождества позволяют в преобразованиях заменять свои левые части правыми и обратно - правые части левыми. Самое трудное при этом - увидеть соответствующие выражения и понять, чем в них заменены переменные а и b. Рассмотрим несколько примеров использования формул сокращенного умножения.

Раздел 5 ВЫРАЖЕНИЯ И УРАВНЕНИЯ

В разделе узнаете:

ü о выражения и их упрощения;

ü какие свойства равенств;

ü как решать уравнения на основе свойств равенств;

ü какие виды задач решаются с помощью уравнений; что такое перпендикулярные прямые и как их строить;

ü какие прямые называются параллельными и как их строить;

ü что такое координатная плоскость;

ü как определить координаты точки на плоскости;

ü что такое график зависимости между величинами и как его построить;

ü как применить изученный материал на практике

§ 30. ВЫРАЖЕНИЯ И ИХ УПРОЩЕНИЕ

Вы уже знаете, что такое буквенные выражения и умеете их упрощать с помощью законов сложения и умножения. Например, 2а ∙ (-4 b ) = -8 ab . В полученном выражении число -8 называют коэффициентом выражения.

Имеет ли выражение cd коэффициент? Так. Он равен 1, поскольку cd - 1 ∙ cd .

Вспомним, что преобразование выражения со скобками в выражение без скобок, называют раскрытием, скобок. Например: 5(2х + 4) = 10х+ 20.

Обратная действие в этом примере - это вынесение общего множителя за скобки.

Слагаемые, содержащие одинаковые буквенные множители, называют подобными слагаемыми. С помощью вынесения общего множителя за скобки возводят подобные слагаемые:

5х + y + 4 - 2х + 6 y - 9 =

= (5х - 2х) + (y + 6 y )+ (4 - 9) = = (5-2)* + (1 + 6)* y -5 =

B х+ 7у - 5.

Правила раскрытия скобок

1. Если перед скобками стоит знак«+», то при раскрытии скобок знаки слагаемых в скобках сохраняют;

2. Если перед скобками стоит знак «-», то при раскрытии скобок знаки слагаемых в скобках меняются на противоположные.

Задача 1 . Упростите выражение:

1) 4х+(-7х + 5);

2) 15 y -(-8 + 7 y ).

Решения. 1. Перед скобками стоит знак «+», поэтому при раскрытии скобок знаки всех слагаемых сохраняются:

4х +(-7х + 5) = 4х - 7х + 5=-3х + 5.

2. Перед скобками стоит знак«-», поэтому во время раскрытия скобок: знаки всех слагаемых меняются на противоположные:

15 - (- 8 + 7у) = 15у + 8 - 7у = 8у +8.

Для раскрытия скобок используют распределительную свойство умножения: а(b + c ) = ab + ас. Если а > 0, то знаки слагаемых b и с не изменяют. Если а < 0, то знаки слагаемых b и с меняют на противоположные.

Задача 2. Упростите выражение:

1) 2(6 y -8) + 7 y ;

2)-5(2-5х) + 12.

Решения. 1. Множитель 2 перед скобками е положительным, поэтому при раскрытии скобок знаки всех слагаемых сохраняем: 2(6 y - 8) + 7 y = 12 y - 16 + 7 y =19 y -16.

2. Множитель -5 перед скобками е отрицательным, поэтому при раскрытии скобок знаки всех слагаемых меняем на противоположные:

5(2 - 5х) + 12 = -10 + 25х +12 = 2 + 25х.

Узнайте больше

1. Слово «сумма» происходит от латинского summa , что означает «итог», «общее количество».

2. Слово «плюс» происходит от латинского plus , что означает «больше», а слово «минус» - от латинского minus , что значит «меньше». Знаки «+» и«-» используют для обозначения действий сложения и вычитания. Эти знаки ввел чешский ученый Й. Видман в 1489 г. в книге «Быстрый и приятный счет для всех торговцев» (рис. 138).

Рис. 138

ВСПОМНИТЕ ГЛАВНОЕ

1. Какие слагаемые называют подобными? Как возводят подобные слагаемые?

2. Как раскрывают скобки, перед которыми стоит знак «+»?

3. Как раскрывают скобки, перед которыми стоит знак «-»?

4. Как раскрывают скобки, перед которыми стоит положительный множитель?

5. Как раскрывают скобки, перед которыми стоит отрицательный множитель?

1374". Назовите коэффициент выражения:

1)12 а; 3)-5,6 ху;

2)4 6; 4)-с.

1375". Назовите слагаемые, которые отличаются только коэффициентом:

1) 10а + 76-26 + а; 3) 5 n + 5 m -4 n + 4;

2) bc -4 d - bc + 4 d ; 4)5х + 4у-х + у.

Как называются такие слагаемые?

1376". Есть ли подобными слагаемые в выражении:

1)11а+10а; 3)6 n + 15 n ; 5) 25р - 10р + 15р;

2) 14с-12; 4)12 m + m ; 6)8 k +10 k - n ?

1377". Надо ли менять знаки слагаемых в скобках, раскрывая скобки в выражении:

1)4 + (а+ 3 b ); 2)-c +(5-d ); 3) 16-(5 m -8 n )?

1378°. Упростите выражение и подчеркните коэффициент:

1379°. Упростите выражение и подчеркните коэффициент:

1380°. Сведите подобные слагаемые:

1) 4а - По + 6а - 2а; 4) 10 - 4 d - 12 + 4 d ;

2) 4 b - 5 b + 4 + 5 b ; 5) 5а - 12 b - 7а + 5 b ;

3)-7 ang="EN-US">c+ 5-3 c + 2; 6) 14 n - 12 m -4 n -3 m .

1381°. Сведите подобные слагаемые:

1) 6а - 5а + 8а -7а; 3) 5с + 4-2с-3с;

2)9 b +12-8-46; 4)-7 n + 8 m - 13 n - 3 m .

1382°. Вынесите общий множитель за скобки:

1)1,2 а +1,2 b ; 3) -3 n - 1,8 m ; 5)-5 p + 2,5 k -0,5 t ;

2) 0,5 с + 5 d ; 4) 1,2 n - 1,8 m ; 6)-8р - 10 k - 6 t .

1383°. Вынесите общий множитель за скобки:

1) 6а-12 b ; 3)-1,8 n -3,6 m ;

2) -0,2 с + 1 4 d ; А) 3р - 0,9 k + 2,7 t .

1384°. Раскройте скобки и сведите подобные слагаемые;

1) 5 + (4а -4); 4) -(5 c - d ) + (4 d + 5с);

2) 17х-(4х-5); 5) (n - m )- (-2 m - 3 n );

3) (76 - 4) - (46 + 2); 6) 7(-5х + у) - (-2у + 4х) + (х - 3у).

1385°. Раскройте скобки и сведите подобные слагаемые:

1) 10а + (4 - 4а); 3) (с - 5 d ) - (- d + 5с);

2) -(46- 10) + (4- 56); 4)-(5 n + m ) + (-4 n + 8 m )-(2 m -5 n ).

1386°. Раскройте скобки и найдите значение выражения:

1)15+(-12+ 4,5); 3) (14,2-5)-(12,2-5);

2) 23-(5,3-4,7); 4) (-2,8 + 13)-(-5,6 + 2,8) + (2,8-13).

1387°. Раскройте скобки и найдите значение выражения:

1) (14- 15,8)- (5,8 + 4);

2)-(18+22,2)+ (-12+ 22,2)-(5- 12).

1388°. Раскройте скобки:

1)0,5 ∙ (а + 4); 4) (n - m ) ∙ (-2,4 p );

2)-с ∙ (2,7-1,2 d ); 5)3 ∙ (-1,5 р + к - 0,2 t );

3) 1,6 ∙ (2 n + m ); 6) (4,2 p - 3,5 k -6 t ) ∙ (-2а).

1389°. Раскройте скобки:

1) 2,2 ∙ (х-4); 3)(4 c - d )∙(-0,5 y );

2) -2 ∙ (1,2 n - m ); 4)6- (-р + 0,3 k - 1,2 t ).

1390. Упростите выражение:

1391. Упростите выражение:

1392. Сведите подобные слагаемые:

1393. Сведите подобные слагаемые:

1394. Упростите выражение:

1)2,8 - (0,5 а + 4) - 2,5 ∙ (2а - 6);

2) -12 ∙ (8 - 2, by ) + 4,5 ∙ (-6 y - 3,2);

4) (-12,8 m + 24,8 n ) ∙ (-0,5)-(3,5 m -4,05 m ) ∙ 2.

1395. Упростите выражение:

1396. Найдите значение выражения;

1) 4-(0,2 а-3)-(5,8 а-16), если а = -5;

2) 2-(7-56)+ 156-3∙(26+ 5), если = -0,8;

m = 0,25, n = 5,7.

1397. Найдите значение выражения:

1) -4∙ (я-2) + 2∙(6x - 1), если х =-0,25;

1398*. Найдите ошибку в решении:

1)5- (а-2,4)-7 ∙ (-а+ 1,2) = 5а - 12-7а + 8,4 = -2а-3,6;

2) -4 ∙ (2,3 а - 6) + 4,2 ∙ (-6 - 3,5 а) = -9,2 а + 46 + 4,26 - 14,7 а = -5,5 а + 8,26.

1399*. Раскройте скобки и упростите выражение:

1) 2аb - 3(6(4а - 1) - 6(6 - 10а)) + 76;

1400*. Расставьте скобки так, чтобы получить правильное равенство:

1)а-6-а + 6 = 2а; 2) a -2 b -2 a + b = 3 a -3 b .

1401*. Докажите, что для любых чисел а и b , если а > b , то выполняется равенство:

1) (а + b ) + (а- b ) = 2а; 2) (а + b ) - (a - b ) = 2 b .

Будет ли правильным данное равенство, если: а) а < b ; б) а = 6?

1402*. Докажите, что для любого натурального числа а среднее арифметическое предыдущего и следующего за ним чисел равна числу а.

ПРИМЕНИТЕ НА ПРАКТИКЕ

1403. Для приготовления фруктового десерта для трех человек нужно: 2 яблока, 1 апельсин, 2 банана и 1 киви. Как составить буквенный выражение для определения количества фруктов, необходимых для приготовления десерта я для гостей? Помогите Марин эти подсчитать, сколько фруктов нужно купить, если к ней в гости придут: 1) 5 друзей; 2) 8 друзей.

1404. Составьте буквенный выражение для определения времени, необходимого для выполнения домашнего задания по математике, если:

1) на решения задач потрачено а мин; 2) упрощение выражений в 2 раза больше, чем на решение задач. Сколько времени выполнял домашнее задание Василько, если на решение задач он потратил 15 мин?

1405. Обед в школьной ‘столовой состоит из салата, борща, голубцов и компота. Стоимость салата составляет 20 %, борща - 30 %, голубцов - 45 %, компота - 5 % общей стоимости всего обеда. Составьте выражение для нахождения стоимости обеда в школьной столовой. Сколько стоит обед, если цена салата - 2 грн?

ЗАДАЧИ НА ПОВТОРЕНИЕ

1406. Решите уравнение:

1407. На мороженое Таня потратила всех имеющихся денег, а на конфеты - остальных. Сколько денег осталось у Тани,

если конфеты стоят 12 грн?

Замечание 1

Логическую функцию можно записать с помощью логического выражения, а затем можно перейти к логической схеме. Упрощать логические выражения надо для того, чтобы получить как можно более простую (а значит, и более дешёвую) логическую схему. По сути, логическая функция, логическое выражение и логическая схема −это три разных языка, рассказывающие об одной сущности.

Для упрощения логических выражений используют законы алгебры логики .

Какие-то преобразования похожи на преобразования формул в классической алгебре (вынесение общего множителя за скобки, использование переместительного и сочетательного законов и т.п.), а другие преобразования основаны на свойствах, которыми операции классической алгебры не обладают (использование распределительного закона для конъюнкции, законов поглощения, склеивания, правил де Моргана и др.).

Законы алгебры логики формулируются для базовых логических операций - “НЕ” – инверсия (отрицание), “И” – конъюнкция (логическое умножение) и “ИЛИ” – дизъюнкция (логическое сложение).

Закон двойного отрицания означает, что операция “НЕ” обратима: если применить ее дважды, то в итоге логическое значение не изменится.

Закон исключенного третьего гласит, что любое логическое выражение либо истинно, либо ложно (“третьего не дано”). Поэтому если $A=1$, то $\bar{A}=0$ (и наоборот), а, значит, конъюнкция этих величин всегда равно нулю, а дизъюнкция равна единице.

$((A + B) → C) \cdot (B → C \cdot D) \cdot C.$

Упростим эту формулу:

Рисунок 3.

Отсюда следует, что $A = 0$, $B = 1$, $C = 1$, $D = 1$.

Ответ: в шахматы играют ученики $B$, $C$ и $D$, а ученик $A$ не играет.

При упрощении логических выражений можно выполнять такую последовательность действий :

1. Заменить все “небазовые” операции (эквивалентность, импликацию, исключающее ИЛИ и др.) на их выражения через базовые операции инверсию, конъюнкцию и дизъюнкцию.
2. Раскрыть инверсии сложных выражений по правилам де Моргана таким образом, чтобы операции отрицания остались только у отдельных переменных.
3. Затем упростить выражение, используя раскрытие скобок, вынесение общих множителей за скобки и другие законы алгебры логики.

Пример 2

Здесь последовательно использованы правило де Моргана, распределительный закон, закон исключенного третьего, переместительный закон, закон повторения, вновь переместительный закон и закон поглощения.

Зачастую в задачах требуется привести упрощенный ответ. Хотя и упрощенный, и неупрощенный ответы являются верными, преподаватель может снизить вашу оценку, если вы не упростите ответ. Более того, с упрощенным математическим выражением гораздо легче работать. Поэтому очень важно научиться упрощать выражения.

Шаги

Правильный порядок выполнения математических операций

1. Запомните правильный порядок выполнения математических операций. При упрощении математического выражения необходимо соблюдать определенный порядок действий, так как некоторые математические операции имеют приоритет над другими и должны быть сделаны в первую очередь (на самом деле несоблюдение правильного порядка выполнения операций приведет вас к неправильному результату). Запомните следующий порядок выполнения математических операций: выражение в скобках, возведение в степень, умножение, деление, сложение, вычитание.

   • Обратите внимание, что знание правильного порядка выполнения операций позволит вам упростить большинство простейших выражений, но для упрощения многочлена (выражения с переменной) необходимо знать специальные приемы (смотрите следующий раздел).

2. Начните с решения выражения в скобках. В математике скобки указывают на то, что заключенное в них выражение должно быть выполнено в первую очередь. Поэтому при упрощении любого математического выражения начинайте с решения выражения, заключенного в скобки (при этом неважно, какие операции нужно выполнить внутри скобок). Но помните, что работая с выражением, заключенным в скобки, следует соблюдать порядок проведения операций, то есть члены в скобках сначала перемножаются, делятся, складываются, вычитаются и так далее.

   • Например, упростим выражение 2x + 4(5 + 2) + 3 2 - (3 + 4/2) . Здесь начнем с выражений в скобках: 5 + 2 = 7 и 3 + 4/2 = 3 + 2 =5.
     • Выражение во второй паре скобок упрощается до 5, потому что сначала нужно разделить 4/2 (согласно правильному порядку выполнения операций). Если не соблюдать этот порядок, то вы получите неправильный ответ: 3 + 4 = 7 и 7 ÷ 2 = 7/2.
   • Если в скобках есть еще одна пара скобок, начните упрощение с решения выражения во внутренних скобках, а затем переходите к решению выражения во внешних скобках.

3. Возведите в степень. Решив выражения в скобках, перейдите к возведению в степень (помните, что у степени есть показатель степени и основание степени). Возведите соответствующее выражение (или число) в степень и подставьте результат в данное вам выражение.

   • В нашем примере единственным выражением (числом) в степени является 3 2: 3 2 = 9. В данном вам выражении вместо 3 2 подставьте 9 и вы получите: 2x + 4(7) + 9 - 5.

4. Умножьте. Помните, что операция умножения может обозначаться следующими символами: «х», «∙» или «*». Но если между числом и переменной (например, 2х) или между числом и числом в скобках (например, 4(7)) нет никаких символов, то это также является операцией умножения.

   • В нашем примере присутствуют две операции умножения: 2x (два умножить на переменную «х») и 4(7) (четыре умножить на семь). Мы не знаем значения х, поэтому выражение 2х оставим как есть. 4(7) = 4 х 7 = 28. Теперь вы можете переписать данное вам выражение так: 2x + 28 + 9 - 5.

5. Разделите. Помните, что операция деления может обозначаться следующими символами: «/», «÷» или «–» (последний символ вы можете встретить в дробях). Например 3/4 – это три, деленное на четыре.

   • В нашем примере операции деления больше нет, так как вы уже разделили 4 на 2 (4/2) при решении выражения в скобках. Поэтому вы можете перейти к следующему шагу. Помните, что в большинстве выражений нет сразу всех математических операций (только некоторые из них).

6. Сложите. При сложении членов выражения вы можете начать с самого крайнего (слева) члена, или можете сначала сложить те члены выражения, которые легко складываются. Например, в выражении 49 + 29 + 51 +71 сначала легче сложить 49 + 51 = 100, потом 29 + 71 = 100 и, наконец, 100 + 100 = 200. Гораздо сложнее складывать так: 49 + 29 = 78; 78 + 51 = 129; 129 + 71 = 200.

   • В нашем примере 2x + 28 + 9 + 5 присутствуют две операции сложения. Начнем с самого крайнего (слева) члена: 2x + 28; вы не можете сложить 2х и 28, потому что не знаете значения переменной «х». Поэтому сложите 28 + 9 = 37. Теперь выражение можно переписать так: 2х + 37 - 5.

7. Вычтите. Это последняя операция в правильном порядке выполнения математических операций. На этом этапе вы также можете прибавлять отрицательные числа или же делать это на этапе сложения членов – это никак не отразится на конечном результате.

   • В нашем примере 2х + 37 - 5 присутствует только одна операция вычитания: 37 - 5 = 32.

8. На этом этапе, проделав все математические операции, вы должны получить упрощенное выражение. Но если данное вам выражение содержит одну или несколько переменных, то помните, что член с переменной останется таким, как есть. Решение (а не упрощение) выражения с переменной подразумевает нахождение значения этой переменной. Иногда выражения с переменной можно упростить, используя специальные методы (смотрите следующий раздел).

   • В нашем примере окончательный ответ: 2х + 32. Вы не сможете сложить два члена, пока не узнаете значение переменной «х». Узнав значение переменной, вы с легкостью упростите этот двучлен.

   Упрощение сложных выражений

   1. Сложение подобных членов. Помните, что вычитать и складывать можно исключительно подобные члены, то есть члены с одинаковой переменной и одинаковым показателем степени. Например, можно сложить 7x и 5x, но нельзя складывать 7x и 5x 2 (так как здесь показатели степени разные).

      • Это правило распространяется и на члены с несколькими переменными. Например, можно сложить 2xy 2 и -3xy 2 , но нельзя складывать 2xy 2 и -3x 2 y или 2xy 2 и -3y 2 .
      • Рассмотрим пример: x 2 + 3x + 6 - 8x. Здесь подобными членами являются 3x и 8x, поэтому их можно сложить. Упрощенное выражение выглядит так: x 2 - 5x + 6.

   2. Упростите числовую дробь. В такой дроби и в числителе, и в знаменателе находятся числа (без переменной). Числовая дробь упрощается несколькими способами. Во-первых, просто разделите знаменатель на числитель. Во-вторых, разложите числитель и знаменатель на множители и сократите одинаковые множители (так как при делении числа на само себя вы получите 1). Другими словами, если и у числителя, и у знаменателя есть один и тот же множитель, его можно отбросить и получить упрощенную дробь.

      • Например, рассмотрим дробь 36/60. При помощи калькулятора разделите 36 на 60 и получите 0,6. Но вы можете упростить эту дробь и по-другому, разложив числитель и знаменатель на множители: 36/60 = (6х6)/(6х10) = (6/6)*(6/10). Так как 6/6 = 1, то упрощенная дробь: 1 х 6/10 = 6/10. Но эту дробь также можно упростить: 6/10 = (2х3)/(2*5) = (2/2)*(3/5) = 3/5.

   3. Если дробь содержит переменную, можно сократить одинаковые множители с переменной. Разложите и числитель, и знаменатель на множители и сократите одинаковые множители, даже если они содержат переменную (помните, что здесь одинаковые множители могут содержать или не содержать переменную).

      • Рассмотрим пример: (3x 2 + 3x)/(-3x 2 + 15x). Это выражение можно переписать (разложить на множители) в виде: (x + 1)(3x)/(3x)(5 - x). Так как член 3x находится и в числителе, и в знаменателе, его можно сократить, и вы получите упрощенное выражение: (х + 1)/(5 - х). Рассмотрим другой пример: (2x 2 + 4x + 6)/2 = (2(x 2 + 2x + 3))/2 = x 2 + 2x + 3.
      • Обратите внимание, что вы не можете сокращать любые члены – сокращаются только одинаковые множители, которые присутствуют как в числителе, так и в знаменателе. Например, в выражении (х(х + 2))/х переменная (множитель) «х» находится и в числителе, и в знаменателе, поэтому «х» можно сократить и получить упрощенное выражение: (х + 2)/1 = х + 2. Тем не менее, в выражении (х + 2)/х переменную «х» сокращать нельзя (так как в числителе «х» не является множителем).

   4. Раскройте скобки. Для этого умножьте член, стоящий за скобкой, на каждый член в скобках. Иногда это помогает упростить сложное выражение. Это относится как к членам, которые являются простыми числами, так и к членам, которые содержат переменную.

      • Например, 3(x 2 + 8) = 3x 2 + 24, а 3x(x 2 + 8) = 3x 3 + 24x.
      • Обратите внимание, что в дробных выражениях скобки раскрывать не нужно, если и в числителе, и в знаменателе присутствует одинаковый множитель. Например, в выражении (3(x 2 + 8))/3x скобки раскрывать не нужно, так как здесь можно сократить множитель 3 и получить упрощенное выражение (x 2 + 8)/x. С этим выражением легче работать; если бы вы раскрыли скобки, то получили бы следующее сложное выражение: (3x 3 + 24x)/3x.

   5. Разложите на множители многочлены. При помощи этого метода можно упростить некоторые выражения и многочлены. Разложение на множители – это операция, противоположная раскрытию скобок, то есть выражение записывается в виде произведения двух выражений, каждое из которых заключено в скобки. В некоторых случаях разложение на множители позволяет сократить одинаковое выражение. В особых случаях (как правило, с квадратными уравнениями) разложение на множители позволит вам решить уравнение.

      • Рассмотрим выражение x 2 - 5x + 6. Оно раскладывается на множители: (x - 3)(x - 2). Таким образом, если, например, дано выражение (x 2 - 5x + 6)/(2(x - 2)), то вы можете переписать его в виде (x - 3)(x - 2)/(2(x - 2)), сократить выражение (х - 2) и получить упрощенное выражение (х - 3)/2.
      • Разложение многочленов на множители применяется для решения (нахождения корней) уравнений (уравнение – это многочлен, приравненный к 0). Например, рассмотрим уравнение x 2 - 5x + 6 = 0. Разложив его на множители, вы получите (х - 3)(х - 2) = 0. Так как любое выражение, умноженное на 0, равно 0, то мы можем записать так: х - 3 = 0 и х - 2 = 0. Таким образом, х = 3 и х = 2, то есть вы нашли два корня данного вам уравнения.