Арифметические действия. Подготовка к изучению дробей: делимость и разложение на простые множители
Деление натуральных чисел, особенно многозначных, удобно проводить особым методом, который получил название деление столбиком (в столбик) . Также можно встретить название деление уголком . Сразу отметим, что столбиком можно проводить как деление натуральных чисел без остатка , так и деление натуральных чисел с остатком .
В этой статье мы разберемся, как выполняется деление столбиком. Здесь мы поговорим и о правилах записи, и о всех промежуточных вычислениях. Сначала остановимся на делении столбиком многозначного натурального числа на однозначное число. После этого остановимся на случаях, когда и делимое и делитель являются многозначным натуральными числами. Вся теория этой статьи снабжена характерными примерами деления столбиком натуральных чисел с подробными пояснениями хода решения и иллюстрациями.
Навигация по странице.
Правила записи при делении столбиком
Начнем с изучения правил записи делимого, делителя, всех промежуточных выкладок и результатов при делении натуральных чисел столбиком. Сразу скажем, что письменно выполнять деление столбиком удобнее всего на бумаге с клетчатой разлиновкой – так меньше шансов сбиться с нужной строки и столбца.
Сначала в одной строке слева направо записываются делимое и делитель, после чего между записанными числами изображается символ вида . Например, если делимым является число 6 105
, а делителем – 5
5, то их правильная запись при делении в столбик будет такой:
Посмотрите на следующую схему, иллюстрирующую места для записи делимого, делителя, частного, остатка и промежуточных вычислений при делении столбиком.
Из приведенной схемы видно, что искомое частное (или неполное частное при делении с остатком) будет записано ниже делителя под горизонтальной чертой. А промежуточные вычисления будут вестись ниже делимого, и нужно заранее позаботиться о наличии места на странице. При этом следует руководствоваться правилом: чем больше разница в количестве знаков в записях делимого и делителя, тем больше потребуется места. Например, при делении столбиком натурального числа 614 808
на 51 234
(614 808
– шестизначное число, 51 234
– пятизначное число, разница в количестве знаков в записях равна 6−5=1
) для промежуточных вычислений потребуется меньше места, чем при делении чисел 8 058
и 4
(здесь разница в количестве знаков равна 4−1=3
). Для подтверждения своих слов приводим законченные записи деления столбиком этих натуральных чисел:
Теперь можно переходить непосредственно к процессу деления натуральных чисел столбиком.
Деление столбиком натурального числа на однозначное натуральное число, алгоритм деления столбиком
Понятно, что разделить одно однозначное натуральное число на другое достаточно просто, и делить эти числа в столбик нет причин. Однако будет полезно отработать начальные навыки деления столбиком на этих простых примерах.
Пример.
Пусть нам нужно разделить столбиком 8 на 2 .
Решение.
Конечно, мы можем выполнить деление при помощи таблицы умножения , и сразу записать ответ 8:2=4 .
Но нас интересует, как выполнить деление этих чисел столбиком.
Сначала записываем делимое 8
и делитель 2
так, как того требует метод:
Теперь мы начинаем выяснять, сколько раз делитель содержится в делимом. Для этого мы последовательно умножаем делитель на числа 0 , 1 , 2 , 3 , … до того момента, пока в результате не получим число, равное делимому, (либо число большее, чем делимое, если имеет место деление с остатком). Если мы получаем число равное делимому, то сразу записываем его под делимым, а на место частного записываем число, на которое мы умножали делитель. Если же мы получаем число большее, чем делимое, то под делителем записываем число, вычисленное на предпоследнем шаге, а на место неполного частного записываем число, на которое умножался делитель на предпоследнем шаге.
Поехали: 2·0=0
; 2·1=2
; 2·2=4
; 2·3=6
; 2·4=8
. Мы получили число, равное делимому, поэтому записываем его под делимым, а на место частного записываем число 4
. При этом запись примет следующий вид:
Остался завершающий этап деления однозначных натуральных чисел столбиком. Под числом, записанным под делимым, нужно провести горизонтальную черту, и провести вычитание чисел над этой чертой так, как это делается при вычитании натуральных чисел столбиком . Число, получающееся после вычитания, будет остатком от деления. Если оно равно нулю, то исходные числа разделились без остатка.
В нашем примере получаем
Теперь перед нами законченная запись деления столбиком числа 8 на 2 . Мы видим, что частное 8:2 равно 4 (и остаток равен 0 ).
Ответ:
8:2=4 .
Теперь рассмотрим, как осуществляется деление столбиком однозначных натуральных чисел с остатком.
Пример.
Разделим столбиком 7 на 3 .
Решение.
На начальном этапе запись выглядит так:
Начинаем выяснять, сколько раз в делимом содержится делитель. Будем умножать 3
на 0
, 1
, 2
, 3
и т.д. до того момента, пока не получим число равное или большее, чем делимое 7
. Получаем 3·0=0<7
; 3·1=3<7
; 3·2=6<7
; 3·3=9>7
(при необходимости обращайтесь к статье сравнение натуральных чисел). Под делимым записываем число 6
(оно получено на предпоследнем шаге), а на место неполного частного записываем число 2
(на него проводилось умножение на предпоследнем шаге).
Осталось провести вычитание, и деление столбиком однозначных натуральных чисел 7
и 3
будет завершено.
Таким образом, неполное частное равно 2 , и остаток равен 1 .
Ответ:
7:3=2 (ост. 1) .
Теперь можно переходить к делению столбиком многозначных натуральных чисел на однозначные натуральные числа.
Сейчас мы разберем алгоритм деления столбиком . На каждом его этапе мы будем приводить результаты, получающиеся при делении многозначного натурального числа 140 288 на однозначное натуральное число 4 . Этот пример выбран не случайно, так как при его решении мы столкнемся со всеми возможными нюансами, сможем подробно разобрать их.
Сначала мы смотрим на первую слева цифру в записи делимого. Если число, определяемое этой цифрой, больше делителя, то в следующем пункте нам предстоит работать с этим числом. Если же это число меньше, чем делитель, то нам нужно добавить к рассмотрению следующую слева цифру в записи делимого, и работать дальше с числом, определяемым двумя рассматриваемыми цифрами. Для удобства выделим в нашей записи число, с которым мы будем работать.
Первой слева цифрой в записи делимого 140 288
является цифра 1
. Число 1
меньше, чем делитель 4
, поэтому смотрим еще и на следующую слева цифру в записи делимого. При этом видим число 14
, с которым нам и предстоит работать дальше. Выделяем это число в записи делимого.
Следующие пункты со второго по четвертый повторяются циклически, пока деление натуральных чисел столбиком не будет завершено.
Сейчас нам нужно определить, сколько раз делитель содержится в числе, с которым мы работаем (для удобства обозначим это число как x ). Для этого последовательно умножаем делитель на 0 , 1 , 2 , 3 , … до того момента, пока не получим число x или число больше, чем x . Когда получается число x , то мы записываем его под выделенным числом по правилам записи, используемым при вычитании столбиком натуральных чисел. Число, на которое проводилось умножение, записывается на место частного при первом проходе алгоритма (при последующих проходах 2-4 пунктов алгоритма это число записывается правее уже находящихся там чисел). Когда получается число, которое больше числа x , то под выделенным числом записываем число, полученное на предпоследнем шаге, а на место частного (или правее уже находящихся там чисел) записываем число, на которое проводилось умножение на предпоследнем шаге. (Аналогичные действия мы проводили в двух примерах, разобранных выше).
Умножаем делитель 4
на числа 0
, 1
, 2
, …, пока не получим число, которое равно 14
или больше 14
. Имеем 4·0=0<14
, 4·1=4<14
, 4·2=8<14
, 4·3=12<14
, 4·4=16>14
. Так как на последнем шаге мы получили число 16
, которое больше, чем 14
, то под выделенным числом записываем число 12
, которое получилось на предпоследнем шаге, а на место частного записываем число 3
, так как в предпоследнем пункте умножение проводилось именно на него.
На этом этапе из выделенного числа вычитаем столбиком число, расположенное под ним. Под горизонтальной линией записывается результат вычитания. Однако, если результатом вычитания является нуль, то его не нужно записывать (если только вычитание в этом пункте не является самым последним действием, полностью завершающим процесс деления столбиком). Здесь же для своего контроля не лишним будет сравнить результат вычитания с делителем и убедиться, что он меньше делителя. В противном случае где-то была допущена ошибка.
Нам нужно вычесть столбиком из числа 14
число 12
(для корректности записи нужно не забыть поставить знак «минус» слева от вычитаемых чисел). После завершения этого действия под горизонтальной чертой оказалось число 2
. Теперь проверяем свои вычисления, сравнивая полученное число с делителем. Так как число 2
меньше делителя 4
, то можно спокойно переходить к следующему пункту.
Теперь под горизонтальной чертой справа от находящихся там цифр (или справа от места, где мы не стали записывать нуль) записываем цифру, расположенную в том же столбце в записи делимого. Если же в записи делимого в этом столбце нет цифр, то деление столбиком на этом заканчивается. После этого выделяем число, образовавшееся под горизонтальной чертой, принимаем его в качестве рабочего числа, и повторяем с ним со 2 по 4 пункты алгоритма.
Под горизонтальной чертой справа от уже имеющейся там цифры 2
записываем цифру 0
, так как именно цифра 0
находится в записи делимого 140 288
в этом столбце. Таким образом, под горизонтальной чертой образуется число 20
.
Это число 20
мы выделяем, принимаем в качестве рабочего числа, и повторяем с ним действия второго, третьего и четвертого пунктов алгоритма.
Умножаем делитель 4
на 0
, 1
, 2
, …, пока не получим число 20
или число, которое больше, чем 20
. Имеем 4·0=0<20
, 4·1=4<20
, 4·2=8<20
, 4·3=12<20
, 4·4=16<20
, 4·5=20
. Так как мы получили число, равное числу 20
, то записываем его под отмеченным числом, а на месте частного, справа от уже имеющегося там числа 3
записываем число 5
(на него производилось умножение).
Проводим вычитание столбиком. Так как мы вычитаем равные натуральные числа, то в силу свойства вычитания равных натуральных чисел в результате получаем нуль. Нуль мы не записываем (так как это еще не завершающий этап деления столбиком), но запоминаем место, на котором мы его могли записать (для удобства это место мы отметим черным прямоугольником).
Под горизонтальной линией справа от запомненного места записываем цифру 2
, так как именно она находится в записи делимого 140 288
в этом столбце. Таким образом, под горизонтальной чертой мы имеем число 2
.
Число 2
принимаем за рабочее число, отмечаем его, и нам еще раз придется выполнить действия из 2-4
пунктов алгоритма.
Умножаем делитель на 0
, 1
, 2
и так далее, и сравниваем получающиеся числа с отмеченным числом 2
. Имеем 4·0=0<2
, 4·1=4>2
. Следовательно, под отмеченным числом записываем число 0
(оно было получено на предпоследнем шаге), а на месте частного справа от уже имеющегося там числа записываем число 0
(на 0
мы проводили умножение на предпоследнем шаге).
Выполняем вычитание столбиком, получаем число 2
под горизонтальной чертой. Проверяем себя, сравнивая полученное число с делителем 4
. Так как 2<4
, то можно спокойно двигаться дальше.
Под горизонтально чертой справа от числа 2 дописываем цифру 8
(так как она находится в этом столбце в записи делимого 140 288
). Таким образом, под горизонтальной линией оказывается число 28
.
Принимаем это число в качестве рабочего, отмечаем его, и повторяем действия 2-4
пунктов.
Здесь никаких проблем возникнуть не должно, если Вы были внимательны до настоящего момента. Проделав все необходимые действия, получается следующий результат.
Осталось последний раз провести действия из пунктов 2
, 3
, 4
(предоставляем это Вам), после чего получится законченная картина деления натуральных чисел 140 288
и 4
в столбик:
Обратите внимание, что в самой нижней строчке записано число 0 . Если бы это был не последний шаг деления столбиком (то есть, если бы в записи делимого в столбцах справа оставались цифры), то этот нуль мы бы не записывали.
Таким образом, посмотрев на законченную запись деления многозначного натурального числа 140 288 на однозначное натуральное число 4 , мы видим, что частным является число 35 072 , (а остаток от деления равен нулю, он находится в самой нижней строке).
Конечно же, при делении натуральных чисел столбиком Вы не будете настолько подробно описывать все свои действия. Ваши решения будут выглядеть примерно так, как в следующих примерах.
Пример.
Выполните деление в столбик, если делимое равно 7 136 , а делителем является однозначное натуральное число 9 .
Решение.
На первом шаге алгоритма деления натуральных чисел столбиком мы получим запись вида
После выполнения действий из второго, третьего и четвертого пунктов алгоритма запись деления столбиком примет вид
Повторив цикл, будем иметь
Еще один проход дет нам законченную картину деления столбиком натуральных чисел 7 136
и 9
Таким образом, неполное частное равно 792 , а остаток от деления равен 8 .
Ответ:
7 136:9=792 (ост. 8) .
А этот пример демонстрирует, как должно выглядеть деление в столбик.
Пример.
Разделите натуральное число 7 042 035 на однозначное натуральное число 7 .
Решение.
Удобнее всего выполнить деление столбиком.
Ответ:
7 042 035:7=1 006 005 .
Деление столбиком многозначных натуральных чисел
Поспешим Вас обрадовать: если Вы хорошо усвоили алгоритм деления столбиком из предыдущего пункта этой статьи, то Вы уже почти умеете выполнять деление столбиком многозначных натуральных чисел . Это действительно так, так как со 2 по 4 этапы алгоритма остаются неизменными, а в первом пункте появляются лишь незначительные изменения.
На первом этапе деления в столбик многозначных натуральных чисел нужно смотреть не на первую слева цифру в записи делимого, а на такое их количество, сколько знаков содержится в записи делителя. Если число, определяемое этими цифрами, больше делителя, то в следующем пункте нам предстоит работать с этим числом. Если же это число меньше, чем делитель, то нам нужно добавить к рассмотрению следующую слева цифру в записи делимого. После этого выполняются действия, указанные во 2 , 3 и 4 пункте алгоритма до получения конечного результата.
Осталось лишь посмотреть применение алгоритма деления столбиком многозначных натуральных чисел на практике при решении примеров.
Пример.
Выполним деление столбиком многозначных натуральных чисел 5 562 и 206 .
Решение.
Так как в записи делителя 206
участвуют 3
знака, то смотрим на первые 3
цифры слева в записи делимого 5 562
. Эти цифры соответствуют числу 556
. Так как 556
больше, чем делитель 206
, то число 556
принимаем в качестве рабочего, выделяем его, и переходим к следующему этапу алгоритма.
Теперь умножаем делитель 206
на числа 0
, 1
, 2
, 3
, … до того момента, пока не получим число, которое либо равно 556
, либо больше, чем 556
. Имеем (если умножение выполняется сложно, то лучше выполнять умножение натуральных чисел столбиком): 206·0=0<556
, 206·1=206<556
, 206·2=412<556
, 206·3=618>556
. Так как мы получили число, которое больше числа 556
, то под выделенным числом записываем число 412
(оно было получено на предпоследнем шаге), а на место частного записываем число 2
(так как на него проводилось умножение на предпоследнем шаге). Запись деления столбиком принимает следующий вид:
Выполняем вычитание столбиком. Получаем разность 144
, это число меньше делителя, поэтому можно спокойно продолжать выполнение требуемых действий.
Под горизонтальной линией справа от имеющегося там числа записываем цифру 2
, так как она находится в записи делимого 5 562
в этом столбце:
Теперь мы работаем с числом 1 442
, выделяем его, и проходим пункты со второго по четвертый еще раз.
Умножаем делитель 206
на 0
, 1
, 2
, 3
, … до получения числа 1 442
или числа, которое больше, чем 1 442
. Поехали: 206·0=0<1 442
, 206·1=206<1 442
, 206·2=412<1 332
, 206·3=618<1 442
, 206·4=824<1 442
, 206·5=1 030<1 442
, 206·6=1 236<1 442
, 206·7=1 442
. Таким образом, под отмеченным числом записываем 1 442
, а на месте частного правее уже имеющегося там числа записываем 7
:
Проводим вычитание столбиком, получаем нуль, но сразу его не записываем, а лишь запоминаем его позицию, потому что не знаем, завершается ли на этом деление, или придется еще раз повторять шаги алгоритма:
Теперь мы видим, что под горизонтальную черту правее запомненной позиции мы не можем записать никакого числа, так как в записи делимого в этом столбце нет цифр. Следовательно, на этом деление столбиком закончено, и мы завершаем запись:
- Математика. Любые учебники для 1, 2, 3, 4 классов общеобразовательных учреждений.
- Математика. Любые учебники для 5 классов общеобразовательных учреждений.
КОНСПЕКТ УРОКА
ПО МАТЕМАТИКЕ
3 класс
Плохотнюк Виктория Николаевна,
учитель начальных классов
МБОУ «СОШ № 6» г.Усинска
Республики Коми
ТЕМА: Повторение деления (прием вычисления частного)
ЗАДАЧИ:
продолжить работу над приемом деления, основанном на оперировании конкретными предметами;
закреплять название чисел при делении, умножении;
развивать навык устного счета;
продолжать работу над навыками взаимодействия
ХОД УРОКА:
Начинается урок.
Он пойдет ребятам впрок.
Постараюсь все понять,
Буду правильно решать.
I. А сейчас у нас не просто урок, а космический урок. Мы совершим путешествие к звездам. В полете мы повторим деление, вспомним, как называются числа при умножении, сложении, вычитании.
А чтобы полет прошел успешно надо внимательно слушать, думать, правильно считать.
Но для начала надо получить разрешение на взлет.
Итак: даем только ответ.
Разность чисел 60 и 8 (52)
1 слагаемое 32, 2 слагаемое 8 – сумма (40)
96 уменьшите на 90 (6)
Сумма чисел 16 и 12 (28)
37 увеличить на 1 (38)
В числе 27 содержится 3 дес и 7 ед? (2 д 7 е)
Число 38 находиться в числовом ряду между числами 37 и 40? (37,39)
7 дес. Это 70? Да
5 дес. Это 15? Нет.
Как называются числа при +/при –
Мы неплохо справились с работой, а скажите, какие действия повторили?
(+ и -)
Займите свои места, проверьте готовность к полету. Читаем.
Мы летим к другим планетам
Объявляем вам об этом.
II. Пока наша ракета набирает скорость, откройте бортовые журналы и запишите дату полета.
Мы уже на месте и прилетели к 1 звезде «Поспешайка». Здесь нас ждут заманчивые задания:
5 ,10,11,15,20
40,30, 19 ,20,80 какое число лишнее?
22,23, 42 ,25,26
40,42,44,46…
35,40,45,50… какое число следует дальше?
10,20,30,40…
А эту работу надо выполнить быстро и четко. Задание такое: решить и проверить.
38+27 52-29 63-44 51+29 91-55
Каким действием проверим +, -.
Ребята очень старались, мне понравилось, задерживаться здесь не будем, продолжим полет. Физминутка
Дружно встали раз, 2,3
Мы теперь богатыри
Мы ладонь к глазам приставим.
Ноги крепкие расставим.
Поворачивались вправо,
Оглядимся величаво,
И налево тоже надо.
Поглядеть из-под ладошек.
И направо и еще
Через правое плечо.
III. Мы и не заметили, как подлетели к звезде «Разделяй-ка». Давайте вспомним, как называются числа при делении?
Как называется число, которое делим? (делимое)
Как называется число, на которое делим? (делитель)
Как называется результат деления? (частное)
Запишем в бортовой журнал: Делимое 10, делитель 2. Что нужно найти? (частное)
А частное будем искать при помощи рисунка.
Кто нарисует?
O O O O O O O O O O
(ракету →)
по сколько кружочков группируем (по 2)
ск. раз по 2 содержится в 10? (5 раз)
Значит, чему равно частное? (5)
А сейчас осмотримся, посмотрите налево, направо, вверх. А что это с нашей ракетой?
По-моему она потеряла управление и срочно нужно произвести расчеты. Кто нам поможет? (карточки разложить у доски)
12:3 8:2 6:3
А вот это выражение сами:
12:2
Повторим.
Как называется числа при делении.
Что получается в результате деления?
(Упражнение сидя)
Потянулись, подняли правое, левое плечо.
IV. Мы прилетели к звезде «Запасайка». Надо проверить наши запасы:
В полет мы взяли 5 бутылок лимонада по 1 л в каждой. Сколько всего литров лимонада взяли? (10л)
А еще взяли 3 ящика печенья по 2 кг в каждом. Сколько килограмм печенья взяли.
Мы думали взять в полет 20 больших хрямзиков и 10 маленьких. Когда узнали, что это такое, все выбросили. Сколько хрямзиков выбросили?
Разделимся на экипажи. посмотрите какого цвета звезда у вас на парте?
Оранжевые
Займите свои места. Перед работой угадайте, что это?
Сидит дед 100 шуб одет
Кто его разденет, слезы проливает
Да, это лук. А вы знаете, что лук в Древней Руси считался лучшим средством от болезней? А в Древней Греции – священным растением. А в Германии цветками лука украшали героев. Берем его в полет?
А это что? Рос ребенок не знал пеленок,
Стал стариком
100 пеленок на нем.
Конечно, это капуста. Ее с давних времен использовали как средство от бессонницы и головной боли. Ее соком смазывали ранки.
Мы и капусту возьмем с собой?
А теперь приступаем к делу.
Время пошло.
15луковиц посадили по 3 в ряд. Сколько рядов получилось?
15 кочанов капусты посадили на 3 ряда поровну. Сколько кочанов в каждом ряду.
2)Дать решение.
Что заметили?
(решение одно, а ищем разное)
Мы решали, мы решали
Что- то очень мы устали,
Мы сейчас потопаем
Ручками похлопаем
Раз – присядем
Быстро встанем
Улыбнемся
Тихо сядем.
А это что? К нам приближаются неопознанные объекты, чтобы избежать столкновения, надо срочно узнать их параметры.
∆ O
Какие видели объекты?
По каким признакам сгруппируем?
по цвету
по размеру
по форме
Назовите их.
А это еще что? Какие-то странные рожицы.
Из каких геом. фигур состоят?
Какая лишняя?
Очень хорошо.
Мы избежали столкновения, и наше путешествие подходит к концу. А чтобы благополучно вернуться назад, надо разгадать кроссворд.
1) Что получается при сложении? (сумма)
2) Как называется число, результат деления? (частное)
3)Он бывает прямым и острым? (угол)
4)Число, которое делят? (делимое)
5) Число, на которое делят? (делитель)
Очень плохая оценка? (единица)
7) Каким действием проверим «+» (вычитание)
Наш полет подошел к концу. Следим за указкой. Какое слово получилось. Молодцы.
Да, мы, конечно, молодцы.
Что же сегодня повторяли?
Что понравилось?
Что показалось трудным?
Какую оценку сами себе поставим?
А чтобы успешно на следующем уроке продолжить работу над делением и хорошо написать самостоятельную работу надо дома закрепить материал.
Запишем задание:
с.54 табл. №3.
Урок окончен.
Разделы: Математика
Класс: 5
Тема: Деление с остатком.
Цели урока:
Повторить деление с остатком, вывести правило, как найти делимое при делении с остатком, и записать его в виде буквенного выражения;
- развивать внимание, логическое мышление, математическую речь;
- воспитание культуры речи, усидчивости.
Ход урока
Занятие сопровождается компьютерной презентацией. (Приложение)
I . Организационный момент
II . Устный счет. Сообщение темы урока
Решив примеры и заполнив таблицу, вы сумеете прочитать тему урока.
На доске:
Прочитайте тему урока.
Открыли тетради, записали число, тему урока. (Слайд 1)
III . Работа по теме урока
Решим устно. (Слайд 2)
1. Прочитайте выражения:
30: 5
103: 10
34: 5
60: 7
47: 6
131: 11
42: 6
На какие две группы их можно разделить? Выпишите и решите те, в которых деление с остатком.
2. Проверим. (Слайд 3)
Без остатка: |
С остатком: |
|
30: 5 |
103: 10 = 10 (ост 3) |
Расскажите, как выполняли деление с остатком?
Не всегда одно натуральное число делится на другое число. Но всегда можно выполнить деление с остатком.
Что, значит, разделить с остатком? Чтобы ответить на этот вопрос, решим задачу. (Слайд 4)
В гости к бабушке пришли 4 внука. Бабушка решила угостить внуков конфетами. В вазочке было 23 конфеты. Сколько конфет достанется каждому внуку, если бабушка предложит поделить конфеты поровну?
Давайте рассуждать.
Сколько конфет у бабушки? (23)
Сколько внуков пришло в гости к бабушке? (4)
Что необходимо сделать по условию задачи? (Конфеты нужно разделить поровну, надо разделить 23 на 4; 23 делится на 4 с остатком; в частном получится 5, а в остатке 3.)
Сколько же конфет достанется каждому внуку? (Каждому внуку достанется по 5 конфет, и в вазочке останется 3 конфеты.)
Запишем решение. (Слайд 5)
23: 4=5 (ост 3)
Как называется число, которое делят? (Делимым.)
Что такое делитель? (Число, на которое делят.)
Как называют результат деления с остатком? (Неполное частное.)
Назовите делимое, делитель, неполное частное и остаток в нашем решении (23 - делимое, 4 - делитель, 5 - неполное частное, 3 – остаток.)
Ребята, подумайте и запишите, как найти делимое 23, зная делитель, неполное частное и остаток?
Проверим.
Ребята, давайте сформулируем правило, как найти делимое, если известны делитель, неполное частное и остаток.
Правило. (Слайд 6)
Делимое равно произведению делителя и неполного частного, сложенному с остатком.
а = вс + d , а - делимое, в - делитель, с - неполное частное, d - остаток.
Когда выполняется деление с остатком, что мы должны помнить?
Правильно, остаток всегда меньше делителя.
А если остаток равен нулю, делимое делится на делитель без остатка, нацело.
IV . Закрепление изученного материала
Слайд 7
Найдите делимое, если:
А) неполное частное равно 7, остаток равен 3, а делитель 6.
Б) неполное частное равно 11, остаток равен 1, а делитель 9.
В) неполное частное равно 20, остаток равен 13, а делитель 15.
V . Работа с учебником
1.
Работа над задачей.
2.
Оформление решения задачи.
№ 516 (Задачу решает у доски ученик.)
20 х 10: 18 = 11 (ост 2)
Ответ: 11 деталей по 18 кг можно отлить из 10 болванок, 2 кг чугуна останется.
№ 519 (Рабочая тетрадь, с. 52 №1.)
Слайд 8, 9
Первое задание выполняет ученик у доски. Второе и третье - ученики выполняют самостоятельно с самопроверкой.
Устно решаем задачи. (Слайд 10)
VI . Итог урока
В вашем классе 17 учеников. Вас построили в шеренги. Получилось несколько шеренг из 5 учеников и одна неполная шеренга. Сколько получилось полных шеренг и сколько человек в неполной шеренге?
Ваш класс на уроке физкультуры снова построили в шеренги. На этот раз получилось 4 одинаковых полных шеренг и одна неполная? Сколько человек в каждой шеренге? А в неполной?
Отвечаем на вопросы:
Может ли остаток быть больше делителя? Может ли остаток быть равен делителю?
Как найти делимое по неполному частному, делителю и остатку?
Какие могут быть остатки при делении на 5? Приведите примеры.
Как проверить, верно ли выполнено деление с остатком?
Оксана задумала число. Если это число увеличить в 7 раз и к произведению прибавить 17, то получится 108. Какое число задумала Оксана?
VII . Домашнее задание
Пункт 13, № 537, 538, рабочая тетрадь, с. 42, №4.
Список литературы
1. Математика: Учеб. для 5 кл. общеобразоват. учреждений / Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд. – 9-е изд., стереотип. – М. : Мнемозина, 2001. – 384 с.: ил.
2. Математика. 5 класс. Рабочая тетрадь №1. натуральные числа / В.Н. Рудницкая. – 7-е изд. – М. : Мнемозина, 2008. – 87 с.: ил.
3. Чесноков А.С., Нешков К.И. Дидактические материалы по математике для 5 класса. – М. : Классикс Стиль, 2007. – 144 с.: ил.
После небольшого перерыва вернусь к методикам обучения математике, на этот раз для учеников постарше.
Для того, чтобы подготовиться к изучению дробей, нужно начать с признаков делимости и разложения чисел на простые множители. После этого можно переходить к НОД, НОК и самим дробям. Опять же эти навыки крайне полезны для понимания состава и способов оперирования с числами.
Как обычно, по методике можно пройти курс в электронном виде Признаки делимости, разложение на простые множители .
Таблица делимости включает основные, часто используемые признаки. Остальные обычно почти не используются.
Последовательность изучения
На входе ребенок должен достаточно уверенно владеть делением.
Шаг 1.
Сначала повторим деление с остатком и без
Шаг 2. Повторим, какие числа являются простыми, а какие составными
Шаг 3.
Делимость на 10 и 5
Это проще всего, определяем по последней цифре - 0 или 5.
Шаг 4.
Делимость на 2
Определяем по последней цифре - она должна быть четной.
Шаг 5.
Делимость на 3 и 9
Сначала складываем все цифры числа, потом проверяем делится ли на 3 / 9 получившаяся сумма.
Шаг 6.
Делимость на 4 и 6
Здесь удобнее всего использовать составные признаки деления.
Для деления на 4 берем только число из последних 2ух чисел (без сотен, тысяч и т.д.). Делим на 2 и проверяем результат на четность последней цифры.
Для деления на 6 число одновременно должно делиться на 2 (последняя цифра четная) и на 3 (сумма цифр делится на 3).
Шаг 7.
Делимость на 7
Существует признак делимости на 7, но он сложный. И часто приходится применять его несколько раз подряд.
В качестве альтернативы здесь можно использовать метод простой проверки делимости - вычитание кратных чисел и проверку делимости остатка. Заодно отработаем этот метод.
Шаг 8.
Потренируемся находить делители числа и раскладывать
Мы научились проверять, можно ли нацело поделить число на простое. Теперь, когда мы умеем это делать, можем начать раскладывать число на множители.
Алгоритм простой:
- для этого последовательно начинаем проверять делимость числа на все простые, начиная с меньшего (с 2)
- как только нашли делитель, получаем результат деления
- дальше берем результат и опять пробуем делить на простые (начиная с того, на котором остановились)
- и так далее, пока в результате очередного деления не получим простое число
Шаг 9.
Способы, как раскладывать быстрее и удобнее
Теперь, когда мы научились делать по алгоритму, мы можем подумать как это делать удобнее и быстрее.
Для этого можно брать очевидные делители и делить сначала на них.
Как можно применить методику
можно тренировать ребенка самому, задавать ему примеры
можно начать проходить
На этом уроке вы повторите все, что знаете об арифметических действиях. Вам уже известны четыре арифметических действия: сложение, вычитание, умножение, деление. Также на этом уроке мы рассмотрим все правила, связанные с ними, и способы проверки вычислений. Вы узнаете о свойствах сложения и умножения, рассмотрите особые случаи различных арифметических действий.
Сложение обозначают знаком «+». Выражение, в котором числа соединены знаком «+», называют суммой. Каждое число имеет название: первое слагаемое, второе слагаемое. Если выполнить действие сложения, то получим значение суммы.
Например, в выражении:
Это первое слагаемое, - второе слагаемое.
Значит, значение суммы равно .
Вспомним особые случаи сложения c числом 0:
Если одно из двух слагаемых равно нулю, то сумма равна другому слагаемому.
Найдите значение суммы:
Решение
Если одно из двух слагаемых равно нулю, то сумма равна другому слагаемому, поэтому получаем:
1. 
2. 
Ответ: 1. 237; 2. 541.
Повторим два свойства сложения.
Переместительное свойство сложения : от перестановки слагаемых сумма не изменяется.
Например:
Сочетательное свойство сложения : два соседних слагаемых можно заменять их суммой.
Например:
Используя эти два свойства, слагаемые можно переставлять и группировать любыми способами.
Вычислить удобным способом:
Решение
Рассмотрим слагаемые этого выражения. Определим, есть ли такие, при сложении которых получится круглое число.
Воспользуемся переместительным свойством сложения - переставим второе и третье слагаемое.
Воспользуемся группировкой первого и второго слагаемых, третьего и четвертого слагаемых.
Ответ: 130.
Вычитание обозначают знаком «-». Числа, соединенные знаком минус, образуют разность.
Каждое число имеет название. Число, из которого вычитают, называется уменьшаемым. Число, которое вычитают, называется вычитаемым.
Если выполнить действие вычитание, то получим значение разности.
Если один из двух множителей равен единице, то значение произведение равно другому множителю.
Если один из множителей равен нулю, то значение произведения равно нулю.
Если из числа вычесть ноль, то получится число, из которого вычитали.
Если уменьшаемое и вычитаемое равны, то разность равна нулю.
Вычислите удобным способом:
Решение
В первом выражении из числа вычитают ноль. Соответственно, получится число, из которого вычитали.
1. 
Во втором выражении уменьшаемое и вычитаемое равны, соответственно, разность равна нулю.
2. 
Ответ: 1. 1864; 2. 0.
Известно, что сложение и вычитание - это взаимообратные действия.
Выполните проверку вычислений:
1. 
2. 
Решение
Проверим, верно ли выполнено сложение. Известно, что если из значения суммы вычесть значение одного из слагаемых, то получится другое слагаемое. Вычтем из значения суммы первое слагаемое:
Сравним полученный результат со вторым слагаемым. Числа одинаковые. Значит, вычисления были выполнены верно.
Также можно было вычесть из значения суммы второе слагаемое.
Сравним полученный результат с первым слагаемым. Числа равны, значит, вычисления выполнены верно.
Проверим, верно ли выполнено вычитание. Известно, если к значению разности прибавить вычитаемое, то получится уменьшаемое. Прибавим к значению разности вычитаемое:
Полученный результат и уменьшаемое совпадают, то есть вычитание было выполнено верно.
Есть другой способ проверки. Если из уменьшаемого вычесть значение разности, получится вычитаемое. Проверим вычитание вторым способом.
Полученный результат совпадает с вычитаемым, значит, значение разности было найдено верно.
Ответ: 1. верно; 2. верно.
Для обозначения действия умножения используют два знака: «», «». Числа, соединенные знаком умножения, образуют произведение.
Каждое число имеет название: первый множитель, второй множитель.
Например:
При этом - это первый множитель, - второй множитель.
Также известно, что умножение заменяет сумму одинаковых слагаемых.
Первый множитель показывает, какое слагаемое повторяется. Второй множитель показывает, сколько раз повторяется это слагаемое.
Если выполнить действие умножения, получим значение произведения.
Найти значение выражений:
Решение
Рассмотрим первое произведение. Первый множитель равен единице, значит, произведение равно другому множителю.
Рассмотрим второе произведение. Второй множитель равен нулю, значит, значение произведения равно нулю.
Ответ: 1. 365; 2. 0.
Переместительное свойство умножения.
От перестановки множителей произведение не изменяется.
Сочетательное свойство умножения.
Два соседних множителя можно заменять их произведением.
Используя эти два свойства, множители можно переставлять и группировать любыми способами.
Распределительное свойство умножения.
При умножении суммы на число можно умножить на него каждое слагаемое в отдельности и полученные результаты сложить.
Вычислите удобным способом:
Решение
Рассмотрим внимательно множители. Определим, есть ли такие, при умножении которых получается круглое число.
Воспользуемся перестановкой множителей, а затем сгруппируем их.
Ответ: 2100.
Для обозначения действия деления используют следующие знаки:
Числа, соединенные знаком деления, образуют частное. Первое число в записи - то, которое делят, - называют делимым. Второе число в записи - то, на которое делят, - называют делителем.
Если выполнить действие деления, получим значение частного.
Умножение и деление - это взаимообратные действия.
Выполните проверку исчислений:
2. 
Решение
Известно, что, если значение произведения разделить на один из множителей, получится второй множитель.
Для проверки правильности умножения разделим произведение на первый множитель.
Полученный результат совпадает со вторым множителем, значит, умножение было выполнено верно.
Также можно значение произведения разделить на второй множитель.
Полученное значение частного совпадает со значением первого множителя. Значит, умножение выполнено верно.
Проверим правильность деления умножением. Если значение частного умножить на делитель, получится делимое.
Умножим значение частного на делитель.
Сравним полученный результат с делителем. Числа совпадают, значит, деление выполнено верно.
Результат деления можно проверить и другим способом.
Если делимое разделить на значение частного, получится делитель.
Результат совпадает с делителем. Значит, деление выполнено верно.
Ответ: 1. верно; 2. верно.
Если ноль разделить на любое другое число, получится ноль.
На ноль делить нельзя.
Если число разделить на 1, то получится число, которое делили.
Если делимое и делитель равны, то частное равно одному.
На этом уроке мы вспоминали следующие арифметические действия: сложение, вычитание, умножение, деление. Также мы повторили различные свойства данных действий и особые случаи, связанные с ними.
Список литературы
- Волкова. С.И. Математика. Проверочные работы 4 класс к учебнику Моро М.И, Волкова С.И. 2011. - М.: Просвещение, 2011.
- Моро М.И. Математика. 4 класс. В 2-х ч. Часть 1. - М.: Просвещение, 2011.
- Моро М.И. Математика. 4 класс. В 2-х ч. Часть 2. - М.: Просвещение, 2011.
- Рудницкая В.Н. Тесты по математике. 4класс. К учебнику Моро М.И. 2011. - М.: Экзамен, 2011.
- Mat-zadachi.ru ().
- Videouroki.net ().
- Festival.1september.ru ().
Домашнее задание
- Учебник: Волкова. С.И. Математика. Проверочные работы 4 класс к учебнику Моро М.И, Волкова С.И. 2011. - М.: Просвещение, 2011.
- Проверочная работа № 1 Вариант 1 стр. 6.
- Учебник: Рудницкая В.Н. Тесты по математике. 4 класс. К учебнику Моро М.И. 2011. - М.: Экзамен, 2011.
- Упр. 11 стр. 9.
