Линейная зависимость и линейная независимость векторов. Базис векторов
Пусть L - произвольное линейное пространство, a i Î L, - его элементы (векторы).
Определение 3.3.1. Выражение , где , - произвольные вещественные числа, называется линейной комбинацией векторов a 1 , a 2 ,…, a n .
Если вектор р = , то говорят, что р разложен по векторам a 1 , a 2 ,…, a n .
Определение 3.3.2. Линейная комбинация векторов называется нетривиальной , если среди чисел есть хотя бы одно отличное от нуля. В противном случае, линейная комбинация называется тривиальной .
Определение 3 .3.3 . Векторы a 1 , a 2 ,…, a n называются линейно зависимыми, если существуют их нетривиальная линейная комбинация, такая что
= 0 .
Определение 3 .3.4. Векторы a 1 ,a 2 ,…, a n называются линейно независимыми, если равенство = 0 возможно лишь в случае, когда все числа l 1, l 2,…, l n одновременно равны нулю.
Отметим, что всякий ненулевой элемент a 1 можно рассматривать как линейно независимую систему, ибо равенство l a 1 = 0 возможно лишь при условии l = 0.
Теорема 3.3.1. Необходимым и достаточным условием линейной зависимости a 1 , a 2 ,…, a n является возможность разложения, по крайней мере, одного из этих элементов по остальным.
Доказательство. Необходимость. Пусть элементы a 1 , a 2 ,…, a n линейно зависимы. Это означает, что = 0 , причем хотя бы одно из чисел l 1, l 2,…, l n отлично от нуля. Пусть для определенности l 1 ¹ 0. Тогда
т. е. элемент a 1 разложен по элементам a 2 , a 3 , …, a n .
Достаточность. Пусть элемент a 1 разложен по элементам a 2 , a 3 , …, a n , т. е. a 1 = . Тогда = 0 , следовательно, существует нетривиальная линейная комбинация векторов a 1 , a 2 ,…, a n , равная 0 , поэтому они являются линейно зависимыми.
Теорема 3.3.2 . Если хотя бы один из элементов a 1 , a 2 ,…, a n нулевой, то эти векторы линейно зависимы.
Доказательство. Пусть a n = 0 , тогда = 0 , что и означает линейную зависимость указанных элементов.
Теорема 3.3.3 . Если среди n векторов какие-либо p (p < n) векторов линейно зависимы, то и все n элементов линейно зависимы.
Доказательство. Пусть для определенности элементы a 1 , a 2 ,…, a p линейно зависимы. Это означает, что существует такая нетривиальная линейная комбинация, что = 0 . Указанное равенство сохранится, если добавить к обеим его частям элемент . Тогда + = 0 , при этом хотя бы одно из чисел l 1, l 2,…, lp отлично от нуля. Следовательно, векторы a 1 , a 2 ,…, a n являются линейно зависимыми.
Следствие 3.3.1. Если n элементов линейно независимы, то любые k из них линейно независимы (k < n).
Теорема 3.3.4 . Если векторы a 1 , a 2 ,…, a n - 1 линейно независимы, а элементы a 1 , a 2 ,…, a n - 1 , a n линейно зависимы, то вектор a n можно разложить по векторам a 1 , a 2 ,…, a n - 1 .
Доказательство. Так как по условию a 1 , a 2 ,…, a n - 1 , a n линейно зависимы, то существует их нетривиальная линейная комбинация = 0 , причем (в противном случае, окажутся линейно зависимыми векторы a 1 , a 2 ,…, a n - 1). Но тогда вектор
,
что и требовалось доказать.
Система векторов , называется линейно зависимой , если существуют такие числа , среди которых хотя бы одно отлично от нуля, что выполняется равенство https://pandia.ru/text/78/624/images/image004_77.gif" width="57" height="24 src=">.
Если же это равенство выполняется только в том случае, когда все , то система векторов называется линейно независимой .
Теорема. Система векторов , будет линейно зависимой тогда и только тогда, когда хотя бы один из ее векторов является линейной комбинацией остальных.
Пример 1. Многочлен является линейной комбинацией многочленов https://pandia.ru/text/78/624/images/image010_46.gif" width="88 height=24" height="24">. Многочлены составляют линейно независимую систему, так как многочлен https://pandia.ru/text/78/624/images/image012_44.gif" width="129" height="24">.
Пример 2. Система матриц , , https://pandia.ru/text/78/624/images/image016_37.gif" width="51" height="48 src="> является линейно независимой, так как линейная комбинация равна нулевой матрице только в том случае, когда https://pandia.ru/text/78/624/images/image019_27.gif" width="69" height="21">, , https://pandia.ru/text/78/624/images/image022_26.gif" width="40" height="21"> линейно зависимой.
Решение.
Составим линейную комбинацию данных векторов https://pandia.ru/text/78/624/images/image023_29.gif" width="97" height="24">=0..gif" width="360" height="22">.
Приравнивая одноименные координаты равных векторов, получаем https://pandia.ru/text/78/624/images/image027_24.gif" width="289" height="69">
Окончательно получим
и
Система имеет единственное тривиальное решение, поэтому линейная комбинация данных векторов равна нулю только в случае, когда все коэффициенты равны нулю. Поэтому данная система векторов линейно независима.
Пример 4. Векторы линейно независимы. Какими будут системы векторов
a). ;
b). ?
Решение.
a). Составим линейную комбинацию и приравняем её к нулю
Используя свойства операций с векторами в линейном пространстве, перепишем последнее равенство в виде
Так как векторы линейно независимы, то коэффициенты при должны быть равны нулю, т. е..gif" width="12" height="23 src=">
Полученная система уравнений имеет единственное тривиальное решение .
Так как равенство (*) выполняется только при https://pandia.ru/text/78/624/images/image031_26.gif" width="115 height=20" height="20"> – линейно независимы;
b). Составим равенство https://pandia.ru/text/78/624/images/image039_17.gif" width="265" height="24 src=">(**)
Применяя аналогичные рассуждения, получим
Решая систему уравнений методом Гаусса, получим
или
Последняя система имеет бесконечное множество решений https://pandia.ru/text/78/624/images/image044_14.gif" width="149" height="24 src=">. Таким образом, существует, ненулевой набор коэффициентов, для которого выполняется равенство (**) . Следовательно, система векторов – линейно зависима.
Пример 5 Система векторов линейно независима, а система векторов линейно зависима..gif" width="80" height="24">.gif" width="149 height=24" height="24">(***)
В равенстве (***) . Действительно, при система была бы линейно зависимой.
Из соотношения (***) получаем или Обозначим .
Получим
Задачи для самостоятельного решения (в аудитории)
1. Система, содержащая нулевой вектор, линейно зависима.
2. Система, состоящая из одного вектора а , линейно зависима тогда и только тогда, когда, а=0 .
3. Система, состоящая из двух векторов, линейно зависима тогда и только тогда, когда, векторы пропорциональны (т. е. один из них получается из другого умножением на число).
4. Если к линейно зависимой системе добавить вектор, то получится линейно зависимая система.
5. Если из линейно независимой системы удалить вектор, то полученная система векторов линейна независима.
6. Если система S линейно независима, но становится линейно зависимой при добавлении вектора b , то вектор b линейно выражается через векторы системы S .
c). Система матриц , , в пространстве матриц второго порядка.
10. Пусть система векторов a, b, c векторного пространства линейно независима. Докажите линейную независимость следующих систем векторов:
a). a+ b, b, c.
b). a+ https://pandia.ru/text/78/624/images/image062_13.gif" width="15" height="19">– произвольное число
c). a+ b, a+c, b+c.
11. Пусть a, b, c – три вектора на плоскости, из которых можно сложить треугольник. Будут ли эти векторы линейно зависимы?
12. Даны два вектора a1=(1, 2, 3, 4), a2=(0, 0, 0, 1) . Подобрать ещё два четырёхмерных вектора a3 и a4 так, чтобы система a1, a2, a3, a4 была линейно независимой.
В данной статье мы расскажем:
- что такое коллинеарные векторы;
- какие существуют условия коллинеарности векторов;
- какие существуют свойства коллинеарных векторов;
- что такое линейная зависимость коллинеарных векторов.
Коллинеарные векторы - это векторы, которые являются параллелями одной прямой или лежат на одной прямой.
Пример 1
Условия коллинеарности векторов
Два векторы являются коллинеарными, если выполняется любое из следующих условий:
- условие 1 . Векторы a и b коллинеарны при наличии такого числа λ , что a = λ b ;
- условие 2 . Векторы a и b коллинеарны при равном отношении координат:
a = (a 1 ; a 2) , b = (b 1 ; b 2) ⇒ a ∥ b ⇔ a 1 b 1 = a 2 b 2
- условие 3 . Векторы a и b коллинеарны при условии равенства векторного произведения и нулевого вектора:
a ∥ b ⇔ a , b = 0
Замечание 1
Условие 2 неприменимо, если одна из координат вектора равна нулю.
Замечание 2
Условие 3 применимо только к тем векторам, которые заданы в пространстве.
Примеры задач на исследование коллинеарности векторов
Пример 1Исследуем векторы а = (1 ; 3) и b = (2 ; 1) на коллинеарность.
Как решить?
В данном случае необходимо воспользоваться 2-м условием коллинеарности. Для заданных векторов оно выглядит так:
Равенство неверное. Отсюда можно сделать вывод, что векторы a и b неколлинеарны.
Ответ : a | | b
Пример 2
Какое значение m вектора a = (1 ; 2) и b = (- 1 ; m) необходимо для коллинеарности векторов?
Как решить?
Используя второе условие коллинераности, векторы будут коллинеарными, если их координаты будут пропорциональными:
Отсюда видно, что m = - 2 .
Ответ: m = - 2 .
Критерии линейной зависимости и линейной независимости систем векторов
ТеоремаСистема векторов векторного пространства линейно зависима только в том случае, когда один из векторов системы можно выразить через остальные векторы данной системы.
Доказательство
Пусть система e 1 , e 2 , . . . , e n является линейно зависимой. Запишем линейную комбинацию этой системы равную нулевому вектору:
a 1 e 1 + a 2 e 2 + . . . + a n e n = 0
в которой хотя бы один из коэффициентов комбинации не равен нулю.
Пусть a k ≠ 0 k ∈ 1 , 2 , . . . , n .
Делим обе части равенства на ненулевой коэффициент:
a k - 1 (a k - 1 a 1) e 1 + (a k - 1 a k) e k + . . . + (a k - 1 a n) e n = 0
Обозначим:
A k - 1 a m , где m ∈ 1 , 2 , . . . , k - 1 , k + 1 , n
В таком случае:
β 1 e 1 + . . . + β k - 1 e k - 1 + β k + 1 e k + 1 + . . . + β n e n = 0
или e k = (- β 1) e 1 + . . . + (- β k - 1) e k - 1 + (- β k + 1) e k + 1 + . . . + (- β n) e n
Отсюда следует, что один из векторов системы выражается через все остальные векторы системы. Что и требовалось доказать (ч.т.д.).
Достаточность
Пусть один из векторов можно линейно выразить через все остальные векторы системы:
e k = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n
Переносим вектор e k в правую часть этого равенства:
0 = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 - e k + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n
Поскольку коэффициент вектора e k равен - 1 ≠ 0 , у нас получается нетривиальное представление нуля системой векторов e 1 , e 2 , . . . , e n , а это, в свою очередь, означает, что данная система векторов линейно зависима. Что и требовалось доказать (ч.т.д.).
Следствие:
- Система векторов является линейно независимой, когда ни один из ее векторов нельзя выразить через все остальные векторы системы.
- Система векторов, которая содержит нулевой вектор или два равных вектора, линейно зависима.
Свойства линейно зависимых векторов
- Для 2-х и 3-х мерных векторов выполняется условие: два линейно зависимых вектора - коллинеарны. Два коллинеарных вектора - линейно зависимы.
- Для 3-х мерных векторов выполняется условие: три линейно зависимые вектора - компланарны. (3 компланарных вектора - линейно зависимы).
- Для n-мерных векторов выполняется условие: n + 1 вектор всегда линейно зависимы.
Примеры решения задач на линейную зависимость или линейную независимость векторов
Пример 3Проверим векторы a = 3 , 4 , 5 , b = - 3 , 0 , 5 , c = 4 , 4 , 4 , d = 3 , 4 , 0 на линейную независимость.
Решение. Векторы являются линейно зависимыми, поскольку размерность векторов меньше количества векторов.
Пример 4
Проверим векторы a = 1 , 1 , 1 , b = 1 , 2 , 0 , c = 0 , - 1 , 1 на линейную независимость.
Решение. Находим значения коэффициентов, при которых линейная комбинация будет равняться нулевому вектору:
x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0
Записываем векторное уравнение в виде линейного:
x 1 + x 2 = 0 x 1 + 2 x 2 - x 3 = 0 x 1 + x 3 = 0
Решаем эту систему при помощи метода Гаусса:
1 1 0 | 0 1 2 - 1 | 0 1 0 1 | 0 ~
Из 2-ой строки вычитаем 1-ю, из 3-ей - 1-ю:
~ 1 1 0 | 0 1 - 1 2 - 1 - 1 - 0 | 0 - 0 1 - 1 0 - 1 1 - 0 | 0 - 0 ~ 1 1 0 | 0 0 1 - 1 | 0 0 - 1 1 | 0 ~
Из 1-й строки вычитаем 2-ю, к 3-ей прибавляем 2-ю:
~ 1 - 0 1 - 1 0 - (- 1) | 0 - 0 0 1 - 1 | 0 0 + 0 - 1 + 1 1 + (- 1) | 0 + 0 ~ 0 1 0 | 1 0 1 - 1 | 0 0 0 0 | 0
Из решения следует, что у системы множество решений. Это значит, что существует ненулевая комбинация значения таких чисел x 1 , x 2 , x 3 , при которых линейная комбинация a , b , c равняется нулевому вектору. Следовательно, векторы a , b , c являются линейно зависимыми.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Задача 1. Выяснить, является ли система векторов линейно независимой. Систему векторов будем задавать матрицей системы, столбцы которой состоят из координат векторов.
.
Решение. Пусть линейная комбинация равна нулю. Записав это равенство в координатах, получим следующую систему уравнений:
.
Такая система уравнений называется треугольной. Она имеет единственное решение . Следовательно, векторы линейно независимы.
Задача 2. Выяснить, является ли линейно независимой система векторов.
.
Решение. Векторы линейно независимы (см. задачу 1). Докажем, что вектор является линейной комбинацией векторов . Коэффициенты разложения по векторам определяются из системы уравнений
.
Эта система, как треугольная, имеет единственное решение.
Следовательно, система векторов линейно зависима.
Замечание . Матрицы, такого вида, как в задаче 1, называются треугольными , а в задаче 2 – ступенчато-треугольными . Вопрос о линейной зависимости системы векторов легко решается, если матрица, составленная из координат этих векторов, является ступенчато треугольной. Если матрица не имеет специального вида, то с помощью элементарных преобразований строк , сохраняющих линейные соотношения между столбцами, её можно привести к ступенчато-треугольному виду.
Элементарными преобразованиями строк матрицы(ЭПС) называются следующие операции над матрицей:
1) перестановка строк;
2) умножение строки на отличное от нуля число;
3) прибавление к строке другой строки, умноженной на произвольное число.
Задача 3. Найти максимальную линейно независимую подсистему и вычислить ранг системы векторов
.
Решение. Приведем матрицу системы с помощью ЭПС к ступенчато-треугольному виду. Чтобы объяснить порядок действий, строчку с номером преобразуемой матрицы обозначим символом . В столбце после стрелки указаны действия над строками преобразуемой матрицы, которые надо выполнить для получения строк новой матрицы.
.
Очевидно, что первые два столбца полученной матрицы линейно независимы, третий столбец является их линейной комбинацией, а четвертый не зависит от двух первых. Векторы называются базисными. Они образуют максимальную линейно независимую подсистему системы , а ранг системы равен трем.
Базис, координаты
Задача 4. Найти базис и координаты векторов в этом базисе на множестве геометрических векторов, координаты которых удовлетворяют условию .
Решение . Множество является плоскостью, проходящей через начало координат. Произвольный базис на плоскости состоит из двух неколлинеарных векторов. Координаты векторов в выбранном базисе определяются решением соответствующей системы линейных уравнений.
Существует и другой способ решения этой задачи, когда найти базис можно по координатам.
Координаты пространства не являются координатами на плоскости , так как они связаны соотношением , то есть не являются независимыми. Независимые переменные и (они называются свободными) однозначно определяют вектор на плоскости и, следовательно, они могут быть выбраны координатами в . Тогда базис состоит из векторов, лежащих в и соответствующих наборам свободных переменных и , то есть .
Задача 5. Найти базис и координаты векторов в этом базисе на множестве всех векторов пространства , у которых нечетные координаты равны между собой.
Решение . Выберем, как и в предыдущей задаче, координаты в пространстве .
Так как , то свободные переменные однозначно определяют вектор из и, следовательно, являются координатами. Соответствующий базис состоит из векторов .
Задача 6. Найти базис и координаты векторов в этом базисе на множестве всех матриц вида , где – произвольные числа.
Решение . Каждая матрица из однозначно представима в виде:
Это соотношение является разложением вектора из по базису
с координатами .
Задача 7. Найти размерность и базис линейной оболочки системы векторов
.
Решение. Преобразуем с помощью ЭПС матрицу из координат векторов системы к ступенчато-треугольному виду.
.
Столбцы последней матрицы линейно независимы, а столбцы линейно выражаются через них. Следовательно, векторы образуют базис , и .
Замечание . Базис в выбирается неоднозначно. Например, векторы также образуют базис .
Определение. Линейной комбинацией векторов a 1 , ..., a n с коэффициентами x 1 , ..., x n называется вектор
x 1 a 1 + ... + x n a n .
тривиальной , если все коэффициенты x 1 , ..., x n равны нулю.
Определение. Линейная комбинация x 1 a 1 + ... + x n a n называется нетривиальной , если хотябы один из коэффициентов x 1 , ..., x n не равен нулю.
линейно независимыми , если не существует нетривиальной комбинации этих векторов равной нулевому вектору .
Тоесть вектора a 1 , ..., a n линейно независимы если x 1 a 1 + ... + x n a n = 0 тогда и только тогда, когда x 1 = 0, ..., x n = 0.
Определение. Вектора a 1 , ..., a n называются линейно зависимыми , если существует нетривиальная комбинация этих векторов равная нулевому вектору .
Свойства линейно зависимых векторов:
Для n -мерных векторов.
n + 1 вектор всегда линейно зависимы.
Для 2-х и 3-х мерных векторов.
Два линейно зависимые вектора - коллинеарные. (Коллинеарные вектора - линейно зависимы.) .
Для 3-х мерных векторов.
Три линейно зависимые вектора - компланарные. (Три компланарные вектора - линейно зависимы.)
Примеры задач на линейную зависимость и линейную независимость векторов:
Пример 1. Проверить будут ли вектора a = {3; 4; 5}, b = {-3; 0; 5}, c = {4; 4; 4}, d = {3; 4; 0} линейно независимыми.
Решение:
Вектора будут линейно зависимыми, так как размерность векторов меньше количества векторов.
Пример 2. Проверить будут ли вектора a = {1; 1; 1}, b = {1; 2; 0}, c = {0; -1; 1} линейно независимыми.
Решение:
x 1 + x 2 = 0 | |
x 1 + 2x 2 - x 3 = 0 | |
x 1 + x 3 = 0 |
1 | 1 | 0 | 0 | ~ | ||
1 | 2 | -1 | 0 | |||
1 | 0 | 1 | 0 |
~ | 1 | 1 | 0 | 0 | ~ | 1 | 1 | 0 | 0 | ~ | ||||
1 - 1 | 2 - 1 | -1 - 0 | 0 - 0 | 0 | 1 | -1 | 0 | |||||||
1 - 1 | 0 - 1 | 1 - 0 | 0 - 0 | 0 | -1 | 1 | 0 |
из первой строки вычтем вторую; к третей строке добавим вторую:
~ | 1 - 0 | 1 - 1 | 0 - (-1) | 0 - 0 | ~ | 1 | 0 | 1 | 0 | ||||
0 | 1 | -1 | 0 | 0 | 1 | -1 | 0 | ||||||
0 + 0 | -1 + 1 | 1 + (-1) | 0 + 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Данное решение показывает, что система имеет множество решений, то есть существует не нулевая комбинация значений чисел x 1 , x 2 , x 3 таких, что линейная комбинация векторов a , b , c равна нулевому вектору, например:
A + b + c = 0
а это значит вектора a , b , c линейно зависимы.
Ответ: вектора a , b , c линейно зависимы.
Пример 3. Проверить будут ли вектора a = {1; 1; 1}, b = {1; 2; 0}, c = {0; -1; 2} линейно независимыми.
Решение: Найдем значения коэффициентов при котором линейная комбинация этих векторов будет равна нулевому вектору.
x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0Это векторное уравнение можно записать в виде системы линейных уравнений
x 1 + x 2 = 0 | |
x 1 + 2x 2 - x 3 = 0 | |
x 1 + 2x 3 = 0 |
Решим эту систему используя метод Гаусса
1 | 1 | 0 | 0 | ~ | ||
1 | 2 | -1 | 0 | |||
1 | 0 | 2 | 0 |
из второй строки вычтем первую; из третей строки вычтем первую:
~ | 1 | 1 | 0 | 0 | ~ | 1 | 1 | 0 | 0 | ~ | ||||
1 - 1 | 2 - 1 | -1 - 0 | 0 - 0 | 0 | 1 | -1 | 0 | |||||||
1 - 1 | 0 - 1 | 2 - 0 | 0 - 0 | 0 | -1 | 2 | 0 |
из первой строки вычтем вторую; к третей строке добавим вторую.